0. 前言
也是很久没有更新微观经济学的入门笔记了，经过上一次在公众号上将一堆公式转图片再重新调整后，我更新笔记的动力就下降了许多。好在，折腾了一下博客，就打算在这里更新了。关于之前的笔记，可以去公众号上查阅，或者我有时间会慢慢将它们迁移过来的。
1. 博弈论与博弈
前一段时间，沉迷游戏。这个游戏让我想到了博弈论（Game Theory）与寡头垄断（Oligopoly）的知识，于是打算整理一下这一块的笔记。这也许是微观经济学入门笔记的倒数第二篇，关于企业生产部分，如果有时间会再整理吧（不存在的）。
博弈论，简单的说，是一个帮助我们分析策略互动行为的一个工具。我们先来定义一些符号：假设，有$N$个同质的菊局中人（Players），每一个局中人都有自己的策略集（Strategies Set）$S_i,$ 每一个局中人会选择其中一个策略$s_i \in S_i.$ 每一个局中人有一个收益函数（Payoff Function）$u_i(s_1, ..., s_n) \in \mathbb{R}.$ 此外，局中人$i$的竞争者策略（Competitors' Strategies）$S_{-i}=(s_1, ..., s_{i-1}, s_{i+1}, ..., s_n).$
我们先假设在博弈中，局中人是具有完全信息（Complete Information）的，并且必须采取单一策略（Pure Strategy）的特点的，也就是说每一个局中人的收益函数和策略集是所有人都知道的，并且每一个局中人只能选择一个策略。
我们定义，相比于$s_i'$而言，$s_i$是严格占优策略需满足以下条件：$$u_i(s_1, ..., s_i, ..., s_N)>u_i(s_1, ..., s_i', ..., s_N), \forall S_{-i}.\tag{1}$$ 也就是说无论其他局中人如何选择自己的策略，$s_i$的报酬总是高于$s_i'$的报酬。如果式(1)中的$>$改写为$\geq,$ 那么我们则称其为弱占优策略。
并且，我们定义对竞争者策略的最佳反应（Best Responses）是指，给定竞争者的策略，在自己的所有策略中能达到最高报酬的策略。
我们举一个经典的例子（却偏偏不是囚徒困境），有一个很出名的电视游戏叫做Split or Steal（下饭综艺），大约规则是共有100150刀的奖金，如果两个人都选了Split, 那么每个人可以分到50075刀。如果一个人选择Split而另一个人选择Steal, 那么选择Steal的人可以把100150刀全部拿回家。但是，如果两个人都选择了Steal, 那么两个人啥也没有。这个电视游戏可以说是见证了戏精的诞生、窥探了人性的丑恶，多少人跟对方发誓我一定会跟你分钱的，说得那个感人，甚至还挤出了几滴泪珠，然而结局总是令人唏嘘不已。抛开人性的这一面，我们把这个游戏看成一个博弈：
| The Other Splits | The Other Steals | |
| One Splits | $50075, 50075$ | $0, 100150$ |
| One Steals | $100150, 0$ | $0, 0$ |
那么对于两个玩家而言，选择Steal都是弱占优策略，也难怪大家都会选择Steal. 如果已知玩家1选择Split, 那么玩家2的最佳反应是选择Steal. 如果已知玩家2选择Steal, 那么选择Split或Steal都是玩家2的最佳反应。
2. 纳什均衡
第一次听纳什均衡（Nash Equilibrium）这个名词是在电影《美丽心灵》中，它是指一个策略组合（Strategy Profile）$(s_1, ..., s_N)$满足：每一个局中人的策略都是他们的最佳反应，在纳什均衡下，已知其他人的动态，没有人有动机去更改他们的策略。那么在上一个例子中，一共有三个纳什均衡，分别是$(\mathrm{Steal, Split}), (\mathrm{Steal, Steal}), (\mathrm{Split, Steal}).$
我们再回到那个经典的囚徒困境1：
警方逮捕甲、乙两名嫌疑犯，但没有足够证据指控二人有罪。于是警方分开囚禁嫌疑犯，分别和二人见面，并向双方提供以下相同的选择：
若一人认罪并作证检控对方，而对方保持沉默，此人将即时获释，沉默者将判监10年。
若两人都保持沉默，则二人同样判监半年。
若二人都互相检举，则二人同样判监5年。
简化成表格是：
| 乙沉默 | 乙背叛 | |
| 甲沉默 | $0.5, 0.5$ | $10, 0$ |
| 甲背叛 | $0, 10$ | $5, 5$ |
根据定义可知纳什均衡是两人都背叛。一个寻找纳什均衡的方法是：
（1）假设已知乙沉默，那么甲一定会背叛；
（2）已知乙背叛，那么甲一定会背叛；
（3）已知甲沉默，那么乙一定会背叛；
（4）已知甲背叛，那么乙一定会背叛。
可知，无论是谁选择沉默，另一个人会选择背叛，那么这个人只好选择背叛来降低自己的损失。
3. 动态博弈
动态博弈（Dynamic Game）的关键在于动，局中人不需要在同时期内行动。
3.1 扩展形式的博弈
扩展形式的博弈（Extensive Form Game）通过树来描述博弈。每个决策节点表示博弈进行中的每一个可能的状态。博弈从唯一的初始节点开始，通过由局中人决定的路径到达终端节点，博弈结束，局中人获得相应的收益——为了更好的说明这个概念，我引用了Nicholson在他的著作中的例子2：
假设有两个学生$A$与$B,$ 他们要决定自己在宿舍里练习乐器的声音大小。每个人可能采取较高（$L$）或较低（$S$）的声音。在一个博弈树中，每个结点代表所标的个人的决策。在这个博弈中是$A$先做决策，选择他的音量$L$或$S.$ 并假设$B$知道$A$的选择后再做选择。如下图所示，如果$A$选择较低的声音，在已知这个策略下，$B$可以选择$L$或者$S,$ 并获得对应的支付。
如果我们将这个博弈树转换成表格形式，我们得到：
| $L, L$ | $L, S$ | $S, L$ | $S, S$ | |
| $L$ | $7, 5$ | $7, 5$ | $5, 4$ | $5, 4$ |
| $S$ | $6, 4$ | $6, 3$ | $6, 4$ | $6, 3$ |
特别注意，在这里表达$B$的策略时，我们都表示为一对行动，这代表依靠已有信息，$B$将如何行动。比如说$(L, L)$代表如果$A$选择$L,$ 那么$B$会选择$L,$ 并且当$A$选择$S$时，$B$会选择$L.$ 类似地，$(L, S)$代表如果$A$选择$L,$ 那么$B$选择$L,$ 且如果$A$选择$S$时，$B$选择$S.$ 这种表示方法只是为了便于我们更好地了解序贯博弈（Sequential Game）的均衡概念。
读者可自行练习找出这一个博弈的纳什均衡，不难发现在这个博弈中有三个纳什均衡，分别是：$(L, (L, L)), (L, (L, S)), (S, (S, L)).$
然而我们在这三个纳什均衡中能找出不合理的组合。例如$(S, (S, L)).$ 在这一纳什均衡下，$B$威胁（Threat）如果$A$选择策略$L,$ 那么$B$会选择策略$S.$ 可是这种威胁是不可信的，因为如果$A$选择策略$L,$ 而$B$选择策略$S$的效用是$4$，但如果选择$L$的效用则是$5$，所以在$(S, L)$中的威胁根本不可信，即便这是一个纳什均衡，$A$也不必理会$B$的威胁。读者可以通过这个思路，找出另一个不合理的策略组合。
3.2 子博弈精炼纳什均衡
通过排除含有不可信威胁的策略组合，我们能找到一个子博弈精炼纳什均衡（Subgame-Perfect Nash Equilibrium）。在上面的例子中，我们站在$A$的角度思考，可以发现，对于$B$而言，采取$(L, L)$是他唯一有利的策略，在意识到这一点后，$A$只需要采取策略$L$就可以使其自身效用最大化。
当我们掌握了基本的博弈论的知识后，就可以分析简单的寡头垄断模型了。
Reference
1. 囚徒困境
2. Nicholson, W. and Snyder, C. (2001). Microeconomic Theory. 8th ed. Nashville, TN: South-Western College Pub, p.249.
3. Nicholson, W. and Snyder, C. (2001). Microeconomic Theory. 8th ed. Nashville, TN: South-Western College Pub, p.256.
