微观经济学|寡头垄断

Posted by Derek on March 16, 2019

0. 前言


我们简单地介绍了一下博弈论,然后就可以来介绍寡头垄断的一些基本模型了。

1. 寡头垄断


寡头垄断(Oligopoky)是一种由少数企业主导市场的市场状态。"oligo-"这一前缀来自希腊语,意为少量的,所以也就不难理解这一单词的意思了。在寡头垄断情况中,企业拥有市场权力(Market Power),简单理解,企业支配市场并且拥有定价的权力。寡头垄断是一个典型的博弈,有三个基本的模型分析,在这里我们将选取两个基本的模型进行介绍。

2. 古诺模型


在古诺模型(Cournot Model of Oligopoly)下,每一家企业需要决定当季生产数量,并且企业是同时决策的。

首先假设这个市场有$N$个企业,每个企业生产数量为$x_i,$ 并且每个企业的成本函数是$C_i(x_i).$ 此时的市场需求为:$p_x(X)=p_x(x_1+\cdots+x_N),$ 其中$X$代表了这个市场的总供给。

看到同时决策,我们就能联想到之前讨论过的最基础的博弈模型。这也是这个模型的精髓。我们可以把$N$个企业看成$N$个局中人,每一个企业的策略集$S_i=[0, \infty),$ 也就是说企业可以生产任意非负数量的商品。每一个企业必须要选择一个策略$s_i \in S_i.$ 它们的收益函数,自然也就是它们的利润:$$u_i(s_1, ..., s_N)=\pi_i(x_1, ..., x_N)=p_x(X)x_i-C_i(x_i).$$

下一步,我们要找到每一个企业的最佳反应。在博弈论介绍中,我们谈到了对竞争者策略的最佳反应是指,给定竞争者的策略,在自己的所有策略中能达到最高报酬的策略。在这里也是一样的,给定其它所有企业生产数量,$$x_{-i}=x_1+\cdots+x_{i-1}+x_{i+1}+\cdots+x_N,$$ 我们要最大化自己企业的收益函数,其实也就是$$\pi_i(x_1, ..., x_N)=p(x_i+x_{-i})x_i-C_i(x_i).$$

我们可以举一个简单的例子,假设市场需求是$p_x(X)=\alpha-X=\alpha-x_1-x_2-\cdots-x_N,$ 那么对于自身企业来说,$$p_x(X)=\alpha-X=\alpha-x_{-i}-x_i=\beta-x_i=\overline{p_x}(x_i).$$ 其中$\beta=\alpha-x_{-i},$ 我们也称$\overline{p_x}(x_i)$为剩余需求(Residual Demand)。

最后,我们要找这个寡头垄断市场的均衡点,也就是找纳什均衡。我们同样可以举一个简单的例子:

假设寡头垄断市场上有两个企业,市场需求为$p(X)=100-X=100-x_1-x_2.$ 企业的成本函数为$C_i(x_i)=x_i^2.$ 这里为了简便起见,我们假设两个企业同质,并且暂时省略企业的固定成本,但如果涉及到固定成本,寻找纳什均衡的步骤是一样的,只不过我们还需要检查在纳什均衡下企业是否盈利。

那么,企业的收益函数是:$\pi_i(x_i, x_{-i})=x_i(100-x_i-x_{-i})-x_i^2.$ 如果企业要达到收益最大化,可利用一阶条件算出$x_i=\frac{100-x_{-i}}{4}.$

观察式子,我们可以得到企业的最佳反应为

$$\mathrm{Br}_i(x_{-i})=\begin{cases}\frac{100-x_{-i}}{4},\ \ \ \ &x_i\leq100 \\ 0, &x_{-i}>100\end{cases}.$$但这并不意味着,其中一个企业生产超过100个单位的商品,能让另一个企业放弃生产。

在古诺模型下,企业是同时决策的。这就像囚徒困境中的两个囚徒一样,因为不知道对方的决策,理性的两个囚徒都只能选择坦坦白从宽,而达到了纳什均衡。企业生产也是一样的,因此当两个企业的最佳反应都是$\mathrm{Br}_i(x_{-i})$时,我们可以联立方程式,算出$x_1^{\mathrm{NE}}=x_2^{\mathrm{NE}}=20.$

如果这里假设企业的成本函数为$C_i(x_i)=x_i^2+F_i,$ 其中$F_i$为固定成本,则需要进一步检验利润是否非负,感兴趣的朋友可以自己尝试找到纳什均衡。

3. 斯塔克伯格模型


在斯塔克伯格模型(Stackelberg Model of Oligopoly)下,假设企业生产同质商品,企业需要作出生产数量的决策,然而与古诺模型不同的是,企业之间存在着行动次序的区别。我们仍然建立在收益作为一种共同知识的前提上。

沿用古诺模型的市场假设,当我们看到行动次序的时候,我们就想到了这是一个动态博弈。那么在这一模型下,后决策企业可以观察到先决策企业的策略,而先决策企业也能知道后决策企业的可能策略,然后最大化收益。其实这个跟找子博弈精炼纳什均衡的过程几乎一样,都用到了逆向归纳(Backward Induction)的方法,也就是说首先考虑后行者的决策。使用此信息,可以确定先行者的决策。因为先行者选择行为时必然要考虑后行者的行为选择,用逆向归纳法可以排除不可信的威胁或承诺。

我们假设企业$1$是先行者,企业$2$是后行者。此时,这个问题可以转换成$$\begin{cases}\max\limits_{x_1}\pi_1(x_1, x_2(x_1))=p(x_1+x_2(x_1))x_1-C_1(x_1) \\ \max\limits_{x_2}\pi_2(x_1, x_2)=p(x_1+x_2)x_2-C_2(x_2)\end{cases}.$$ 下面我将用一个例子和其中一种解法来具体说明一下斯塔克伯格模型。

假设市场需求为$p(X)=100-X=100-x_1-x_2, C_i(x_i)=x_i^2+F_i.$ 企业$1$是先行者,企业$2$是后行者。

根据逆向归纳法,我们要先考虑后行者。对于后行者来说,它的收益是$$\pi_2(x_1, x_2)=(100-x_1-x_2)x_2-x_2^2-F_2.$$ 根据收益函数的一阶条件,我们可以算出当$x_2=\frac{100-x_1}{4}$时,后行者效益最大化。考虑到固定成本的影响,我们知道对于后行者而言,它的最佳反应为

$$\mathrm{Br}_2(x_1)=\begin{cases}\frac{100-x_1}{4},\ \ \ \ &x_1 \leq 100-2\sqrt{2F_2}\\ 0, &x_1>100-2\sqrt{2F_2}\end{cases}.$$

到这里为止,与古诺模型几乎一样,但是关于先行者的最佳反应则不一样了。先假设$x_1<100-2\sqrt{2F_2},$ 那么$$\pi_1=(100-x_1-\frac{100-x_1}{4})x_1-x_1^2-F_1.$$ 根据收益函数的一阶条件,我们可以算出当$x_1=\frac{150}{7}.$

你以为事情就这么结束了?但这里并没有结束,因为此时我们假设了先行者无法生产足够多的产品,因此后行者有机会生产。接下来我们还要比较$x_1=\frac{150}{7}$与$100-2\sqrt{2F_2}$的关系。

如果$x_1=\frac{150}{7} \geq 100-2\sqrt{2F_2},$ 后行者知道这个信息,并将不会再生产任何产品。基于此,这个市场实际上就是一个垄断市场,那么我们可以生产$\max\lbrace x_M, 100-2\sqrt{2F_2}\rbrace.$ 其中$x_M$代表的是在垄断模型下,企业达到利润最大化的生产数量解。

此外,如果$x_1=\frac{150}{7} \leq 100-2\sqrt{2F_2},$ 我们需要比较先行者究竟是生产$\frac{150}{7},$ 还是$100-2\sqrt{2F_2}$更赚钱。感兴趣的朋友不妨思考一下这两个取舍的原因。

3.1 一点题外话


经济学家对逆向归纳法的批评越来越多,比如Rosenthal在Games of Perfect Information, Predatory Pricing and Chain-Store Paradox一文中举的例子,感兴趣的朋友可以搜索一下关于逆向归纳法的悖论。不过在当前模型的假设下,逆向归纳法仍是一个最有效的方法。

此外,这两个模型也可以结合在一起分析。比如说,市场有三家企业,其中一家企业为先行者,另外两家企业同时决策,大家不妨给自己设计一些好玩的场景,利用模型进行分析。

4. 一个更加丧心病狂关于固定成本的例子


关于固定成本的加入,会让模型计算变得更加复杂,并且固定成本在不同的区间会导致不同的纳什均衡点,接下来我举一个考试中遇到的例子,可以尝试做一做。

已知在没有固定成本的条件下,纳什均衡是$(144, 67.2, 67.2).$ 当时我的解答如下(应该不会算错吧):

We know $$\begin{aligned}\pi_1&=(480-200+\frac{5}{12}x_{-i}-x_{-1})(200-\frac{5}{12}x_{-1})-\frac{(200-\frac{5}{12}x_{-1})^2}{5}-F \\ &=(40-\sqrt{30}-\frac{\sqrt{30}}{12}x_{-1})^2-F.\end{aligned}$$ Let $\pi_1\geq0,$ we have $x_{-1} \leq 480-\frac{2\sqrt{30}}{5}\sqrt{F}.$

Besides, $$\begin{aligned}\pi_i&=(480-120+\frac{1}{4}x_{-i}-x_{-i})(120-\frac{1}{4}x_{-i})-(120-\frac{1}{4}x_{-i})^2-F \\ &=2(120-\frac{1}{4}x_{-i})^2-F.\end{aligned}$$ Let $\pi_i\geq0,$ we have $x_{-i}\leq480-2\sqrt{2F}.$

Thus, $$\mathrm{Br}_1(x_{-1})=\begin{cases}200-\frac{5}{12}x_{-1},\ \ \ \ &x_{-1}\leq480-\frac{2\sqrt{30F}}{5} \\ 0, &x_{-1}\geq480-\frac{2\sqrt{30F}}{5}\end{cases},$$ and $$\mathrm{Br}_i(x_{-i})=\begin{cases}120-\frac{1}{4}x_{-i},\ \ \ \ &x_{-i}\leq480-2\sqrt{2F} \\ 0, &x_{-i}\geq480-2\sqrt{2F}\end{cases}.$$ (i) If all three firms produce, then we have $$\begin{cases}134.4\leq480-\frac{2\sqrt{30F}}{5} \\ 211.2\leq480-2\sqrt{2F}\end{cases} \Rightarrow F\leq9031.68,$$ i.e., when $F\leq9031.68, (144, 67.2, 67.2)$ is the Nash Equilibrium.

(ii) If only two frims produce, then we have $x_1=\frac{7200}{43}, x_i=\frac{3360}{43},$ then we have $$\begin{cases}\frac{3360}{43}\leq480-\frac{2\sqrt{30F}}{5} \\ \frac{7200}{43}\leq480-2\sqrt{2F} \\ \frac{10560}{43}\geq480-2\sqrt{2F}\end{cases} \Rightarrow 27476.04 \leq F \leq 33644.13.$$ (iii) If only one firm produces, we have $x_1=200,$ then we have $$\begin{cases}0\leq480-\frac{2\sqrt{30F}}{5} \\ 200\geq480-2\sqrt{2F}\end{cases} \Rightarrow 39200 \leq F \leq 48000.$$ (iv) If no firms produce, then we have $F\geq48000.$