宏观经济学|DMP模型

Posted by Derek on May 1, 2019

0. 前言


2010年诺贝尔经济学奖颁发给了Peter Diamond, Dale Mortensen以及Christopher Pissarides,以表彰他们在对“存在搜寻摩擦的市场的分析”中所取得的成就。一个简化的DMP模型(The Diamond-Mortensen-Pissarides Model of Unemployment with Search Frictions)能让我们更好的理解劳动力市场的变化。

1. 模型假设


为了简化这一模型,我们有如下假设:

  1. 这是一个静态(Static)模型。

  2. 假设有$N$个潜在可就业的消费者,也即有$N$个劳动年龄人口。每一个潜在可就业的消费者要么选择在劳动市场寻找工作,要么选择在家。令$Q$代表寻找工作的消费者数量,$v(Q)$代表寻找工作的期望支付能引起$Q$个消费者寻找工作的函数,期望支付越高就有越多的消费者寻找工作。

  3. 每个企业都有空缺岗位(Vacancy),并假设企业招聘需要花费$k$个单位的消费资料。令$A$代表总共的空缺岗位。

  4. 企业数量是内生变量,也就是说企业仅在不亏损的情况下运营。

2. 匹配函数


劳动者和空缺岗位是否匹配是一个随机事件。我们将这一匹配过程用匹配函数(Matching Function)$$M=em(Q, A)$$来表示,其中$M$是成功匹配的总数,$e$是匹配效率(Matching Efficiency)。我们可以将这个匹配函数当作是一个生产函数,并且可以对其做一些跟生产函数相似的假设。如果你对之前的Cobb-Douglas还有印象的话,一个常见的匹配函数形式是:$$M=eQ^\alpha A^{1-\alpha}.$$

3. 供给侧:消费者的最优化


在对消费者进行最优化之前,我们要先解决一个概率问题。前文提到,劳动者和空缺岗位是否匹配是一个随机事件,在劳动力市场中,有$Q$个消费者在寻找工作,但只有$M$个人能得到工作。所以,消费者找到工作的概率是(我们假设匹配函数是规模收益不变的)$$p_c=\frac{M}{Q}=\frac{em(Q, A)}{Q}=em\left(1, \frac{A}{Q}\right).$$我们也称$j=\frac{A}{Q}$为劳动力市场紧度(Labour Market Tightness),并且$p_c$随着$j$的增加而增加。

此外,如果消费者找到工作,那么她/他将会有工资收益$w,$ 如果消费者找不到工作,那么她/他也会有失业保险金$b.$ 也就是说,对于一个边际消费者(Marginal Consumer)而言(这一类消费者对于在家或在外寻找工作的偏好无差别),$$v(Q)=(1-p_c)b+p_cw=b+p_c(w-b)=b+em(1, j)(w-b).$$

劳动力市场关于供给侧的图像

4. 需求侧:企业的最优化


同样的,企业空缺岗位被填补的概率是$$p_f=\frac{M}{A}=em\left(\frac{1}{j}, 1\right).$$不难得到,$p_f$随着$j$的增加而减少。

如果劳动者和空缺岗位匹配,那么一个企业可以生产$z$,因此企业的收益是$z-w.$ 根据零利润自由参进条件(Zero-Profit Free Entry Condition),我们有$$p_f(z-w)+(1-p_f)\cdot0=k \Rightarrow p_f=\frac{k}{z-w} \Rightarrow em(\frac{1}{j}, 1)=\frac{k}{z-w}.$$

劳动力市场关于需求侧的图像

5. 市场均衡


当我们确定了劳动力市场的供给需求侧,我们就可以寻找劳动力市场的均衡。不过在此之前,我们需要引入纳什议价(Nash Bargaining)的概念,因为在这个非竞争市场,我们需要确定工资$w,$ 并且当劳动者被雇佣时,他们需要放弃失业保险金$b.$ 此外,企业的利润也与工资有关,因此我们需要决定如何从匹配中分配剩余价值。

我们不难得到以下关系:

  1. 劳动者剩余是工资与失业保险金之差,也即$w-b.$

  2. 企业剩余是产量与工资之差,也即$z-w.$

  3. 社会总剩余是劳动者剩余与企业剩余之和,也即$z-b.$

劳动者可以得到社会总剩余的多少取决于劳动者的议价能力(Bargaining Power),记为$a\in[0, 1].$ 因此,$$w-b=a(z-b), z-w=(1-a)(z-b) \Rightarrow w=az+(1-a)b.$$

那么,$$v(Q)=b+em(1, j)a(z-b), em\left(\frac{1}{j}, 1\right)=\frac{k}{(1-a)(z-b)}.$$

此时,$k, a, z, b$都是外生变量,可以确定$p_f=em\left(\frac{1}{j}, 1\right)$与$j.$ 一旦$j$确定,劳动力数量也就被确定了。这一均衡过程可以由下图解释:

劳动力市场均衡图解

并且我们可以得到如下关系式:

  1. 失业率$u=\frac{Q(1-p_c)}{Q}=1-em(1, j).$

  2. 空缺率$v=\frac{A(1-p_f)}{A}=1-em\left(\frac{1}{j}, 1\right).$

  3. 总生产额$Mz=em(Q, A)z=Qem(1, j)z.$

6. 一些经济学实验


感兴趣的朋友不妨利用这个简化的DMP模型探究一下失业保险金增加或减少对整个劳动力市场的影响,或者是模型的其它因素对整个劳动力市场的影响。