1. 皮亚诺公理
假设 存在一个数系$\mathbb{N},$ 我们称$\mathbb{N}$中的元素为自然数，且关于自然数的皮亚诺公理对$\mathbb{N}$均成立.
其中，关于自然数的皮亚诺公理包括：
公理 1.1 $0$是一个自然数.
公理 1.2 如果$n$是一个自然数，那么$n++$也是一个自然数. 其中$++$是增量运算.
命题1.2.1 $2$是一个自然数.
证明 因为$0$是一个自然数，那么$0++=1$是一个自然数，那么$1++=2$也是一个自然数. $\square$
公理 1.3 对任意一个自然数$n, n++\neq0.$
说明 这一公理是为了防止绕回状况，比如在一个数系$\lbrace 0, 1, 2, 3\rbrace $下定义了$3++=0.$
公理 1.4 如果$n, m$都是自然数，并且$n \neq m,$ 那么$n++ \neq m++.$ 也即，如果$n++ = m++,$ 那么$n=m.$
说明 这一公理是为了防止“天花板”状况，比如在一个数系$\lbrace 0, 1, 2, 3\rbrace $下定义了$3++=3.$
命题1.4.1 $5\neq2.$
证明 假设$5=2,$ 那么有$4++=1++.$ 根据公理1.4, 我们有$4=1,$ 那么$3++=1++ \Rightarrow 3=1,$ 进而有$2++=0++ \Rightarrow 2=0.$ 又因为$2=1++,$ 那么$1++=0,$ 与公理1.3矛盾，所以$5\neq2.$ $\square$
公理 1.5（数学归纳法） 令$P(n)$表示自然数$n$的任意一个性质，如果$P(0)$为真且$P(n)$为真时一定有$P(n++)$为真，那么对于任意自然数$n, P(n)$一定为真.
2. 加法
定义 2.1（自然数的加法） 令$m$为一个自然数，定义$m$加上$0$为$0+m:=m.$ 递归地假设已经定义了$m$加上$n,$ 也即$n+m,$ 那么$m$加上$n++$为$(n++)+m:=(n+m)++.$
比如，$1+m=(0++)+m=m++,$ 而$2+m=(1++)+m=(1+m)++=(m++)++.$
此时此刻，我们只能知道关于加法的两个事实：$0+m=m$和$(n++)+m=(n+m)++.$ 通过这两个事实，我们可以推出所有在小学学到的关于加法的性质.
引理 2.1 对任意的自然数$n, n+0=n.$
证明 因为对任意自然数$m$, 有$0+m=m,$ 那么$0+0=0.$ 归纳假设$n+0=n$成立，现在需要证明$(n++)+0=n++.$
根据加法的定义，$(n++)+0=(n+0)++=n++.$ 根据数学归纳法即证引理. $\square$
引理 2.2 对任意的自然数$n, m,$ 有$n+(m++)=(n+m)++.$
证明 将$m$设为定值..
首先，我们考虑$n=0: 0+(m++)=m++=(0+m)++.$
其次，假设$n+(m++)=(n+m)++,$ 需要证明$(n++)+(m++)=((n++)+m)++.$
根据加法的定义，$(n++)+(m++)=(n+(m++))++.$ 根据假设，$(n+(m++))++=((n+m)++)++,$ 也即$(n++)+(m++)=((n+m)++)++=((n++)+m)++.$ 根据数学归纳法即证引理. $\square$
推论 2.3 $n++=n+1.$
证明 令$m=0, $ 根据引理有$n+(0++)=(n+0)++,$ 也即$n+1=n++.$ $\square$
定理 2.4（加法交换律） 对任意的自然数$n, m,$ 有$n+m=m+n.$
证明 将$m$设为定值.
首先，我们考虑$n=0,$ 根据加法的定义和引理2.1，我们有$0+m=m, m+0=m.$
其次，假设$n+m=m+n,$ 需要证明$(n++)+m=m+(n++).$ 根据加法的定义，$(n++)+m=(n+m)++.$ 根据引理2.2，$m+(n++)=(m+n)++.$ 根据假设，$(n+m)++=(m+n)++,$ 也即$(n++)+m=m+(n++).$ $\square$
定理 2.4（加法结合律） 对任意三个自然数$a, b, c,$ 有$(a+b)+c=a+(b+c).$
证明 将$b, c$设为定值.
首先，我们考虑$a=0,$ 我们有$(a+b)+c=(0+b)+c=b+c,$ 以及$a+(b+c)=0+(b+c)=b+c.$
其次，假设$(a+b)+c=a+(b+c),$ 需要证明$((a++)+b)+c=(a++)+(b+c).$ 根据加法的定义，$((a++)+b)+c=((a+b)++)+c=((a+b)+c)++.$ 根据引理2.2和加法交换律，有$(a++)+(b+c)=(b+c)+a++=((b+c)+a)++=(a+(b+c))++.$
根据假设，$((a+b)+c)++=(a+(b+c))++,$ 因此$((a++)+b)+c=(a++)+(b+c).$ $\square$
定理 2.4（消去律） 令任意三个自然数$a, b, c,$满足$a+b=a+c,$ 那么$b=c.$
证明 将$b, c$设为定值.
首先，我们考虑$a=0,$ 有$0+b=0+c \Rightarrow b=c.$
其次，假设如果$a, b, c,$满足$a+b=a+c,$ 那么$b=c,$ 需要证明如果$(a++)+b=(a++)+c,$ 那么$b=c.$ 根据加法的定义，$(a++)+b=(a+b)++, (a++)+c=(a+c)++.$ 从而$(a+b)++=(a+c)++.$ 根据皮亚诺公理，$a+b=a+c,$ 根据假设有$b=c.$ $\square$
定义 2.5（正自然数） 一个自然数$n$是正的，当且仅当它不等于$0.$
定理 2.6 如果$a$是正的并且$b$是自然数，那么$a+b$是正的.
说明 关于定理2.6的证明也同样是应用归纳法证明，这里不再赘述.
推论 2.7 如果$a, b$是自然数并且满足$a+b=0,$ 那么$a=0, b=0.$
说明 应用反证法证明.
推论 2.8 令$a$表示一个正自然数，那么恰好存在一个自然数$b$使$b++=a.$
说明 应用数学归纳法证明.
有了加法的概念后，可以定义序的概念.
定义 2.9（自然数的序） 令$n, m$表示任意两个自然数. 称$n$大于等于$m,$ 记为$n \geq m,$ 或$m \leq n,$ 当且仅当存在自然数$a$使$n=m+a.$ 称$n$严格大于$m,$ 记为$n>m,$ 或$m<n,$ 当且仅当$n \geq m$且$n\neq m.$
定理 2.10（自然数的序的基本性质） 令$a, b, c$为任意自然数，那么
（2.10.1） $a \geq a.$
（2.10.2）如果$a \geq b$且$b \geq c,$ 那么$a \geq c.$
（2.10.3）如果$a \geq b$且$b \geq a,$ 那么$a=b.$
（2.10.4）$a \geq b,$ 当且仅当$a+c \geq b+c.$
（2.10.5）$a<b,$ 当且仅当$a++ \geq b.$
（2.10.6）$a<b,$ 当且仅当存在正自然数$d$使$b=a+d.$
定理 2.11（自然数的序的三歧性） 令$a, b$为任意自然数，那么在下面三种表述中恰有一种表述为真：$a< b, a=b, a>b.$
定理 2.12（强归纳法原理） 令$m_0$表示一个自然数，$P(m)$表示与任意自然数$m$有关的性质。假设对任意满足$m \geq m_0$的自然数$m$有：若$P(m')$对任意满足$m_0 \leq m' <m$的均为真，那么$P(m)$也为真.
3. 乘法
定义 3.1（自然数的乘法） 令$m$为一个自然数，定义把$0$乘到$m$上为$0 \times m:=m.$ 归纳假设已经定义了如何把$n$乘到$m$上，那么$n++$乘到$m$上为$(n++) \times m:=(n \times m)++.$
关于乘法的一些众所周知的性质可能会再未来某一日补充（主要是以前有一门课证过太多次了，这里只想做一个实分析的整理，关于加法的最后三个定理也可能会在以后补充），这里介绍一个算法。
定理 3.7（欧几里得算法） 设$n$使一个自然数，$q$表示一个正自然数，那么存在自然数$m, r$使$0 \leq r < q,$ 且$n=mq+r.$
定义 3.8（自然数的指数运算） 令$m$为一个自然数，定义把$m$升到$0$次幂为$m^0:=1.$ 并定义$0^0=1.$ 归纳假设已经定义了$m^n$，那么$m^{n++}:=m^n \times m.$
