实分析|整数和有理数

Posted by Derek on June 3, 2019

0. 说明


关于整数和有理数部分,仅整理一些关于线性代数里的知识.

1. 整数


定理 1.1(整数的代数定律)    设$x, y, z$是整数,那么

(1.1.1)$x+y=y+x.$

(1.1.2)$(x+y)+z=x+(y+z).$

(1.1.3)$x+0=0+x=x.$

(1.1.4)$x+(-x)=(-x)+x=0.$

(1.1.5)$xy=yx.$

(1.1.6)$(xy)z=x(yz).$

(1.1.7)$x1=1x=x.$

(1.1.8)$x(y+z)=xy+xz.$

(1.1.9)$(y+z)x=yx+zx.$

说明    上述九个等式说明整数集$\mathbb{Z}$构成一个交换环.

2. 有理数


定理 2.1(有理数的代数定律)    设$x, y, z$是有理数,那么

(2.1.1)$x+y=y+x.$

(2.1.2)$(x+y)+z=x+(y+z).$

(2.1.3)$x+0=0+x=x.$

(2.1.4)$x+(-x)=(-x)+x=0.$

(2.1.5)$xy=yx.$

(2.1.6)$(xy)z=x(yz).$

(2.1.7)$x1=1x=x.$

(2.1.8)$x(y+z)=xy+xz.$

(2.1.9)$(y+z)x=yx+zx.$

(2.1.10)如果$x\neq0,$ 那么$xx^{-1}=x^{-1}x=1.$

说明    上述十个等式说明有理数集$\mathbb{Q}$构成一个域.

定理 2.2(有理数上序的基本性质)    设$x, y, z$是有理数,那么

(2.2.1)$x=y, x<y$和$x>y$中恰有一个为真.

(2.2.2)$x<y$当且仅当$y>x.$

(2.2.3)如果$x<y ,y<z,$ 那么$x<z.$

(2.2.4)如果$x<y,$ 那么$x+z<y+z.$

(2.2.5)如果$x<y, z>0,$ 那么$xz<yz.$

说明    上述五个性质与有理数的代数定律一起说明有理数集$\mathbb{Q}$构成一个有序域.