实分析|实数(一)

Posted by Derek on June 5, 2019

1. 柯西序列


实际上,在学习微积分的时候,我们会提到实数的构造. 然而关于这一部分内容我们需要一个更严谨的说明,这就涉及到了一个我们在学习微积分的时候同样接触过的概念,柯西序列. 首先,我们定义有理数序列(注意,当我们清空了关于大学以前所有的数学记忆时,我们的数系现在只扩充到有理数系).

定义 1.1(有理数序列)    设$m$是一个整数. 有理数序列$(a_n)_{n=m}^\infty$是一个从集合$\lbrace n \in \mathbb{Z}: n \geq m \rbrace$到$\mathbb{Q}$的映射,它对每一个大于或等于$m$的整数$n$都指定了一个有理数$a_n.$

通俗地说,一个有理数序列$(a_n)^\infty_{n=m}$就是一组有理数:$a_m, a_{m+1}, a_{m+2}, \cdots.$ 我们希望把实数定义为有理数序列的极限,为此我们必须判定有理数序列的敛散性. 这里我们就要引入大家的老朋友$\varepsilon.$

定义 1.2(柯西序列)    有理数序列$(a_n)_{n=1}^\infty$被称为柯西序列,当且仅当对于任意的有理数$\varepsilon>0,$ 存在一个$N \geq 0$使得$d(a_j, a_k)<\varepsilon$对所有的$j, k \geq N$均成立.

说明    当我们真正构造出实数的时候,上述定义则是对任意$\varepsilon>0$成立.

定义 1.3(有界序列)    设$M\geq0$是有理数,有限序列$a_1, \cdots, a_n$以$M$为界,当且仅当$|a_i| \leq M$对任意的$1 \leq i \leq n$均成立. 无限序列$(a_n)_{n=1}^\infty$以$M$为界,当且仅当$|a_i| \leq M$对任意的$i \geq 1$均成立. 一个序列是有界的,当且仅当存在一个有理数$M \geq 0$使该序列以$M$为界.

定理 1.4(有限序列是有界的)    任意一个有限序列$a_1, \cdots, a_n$是有界的.

说明    应用数学归纳法证明.

定理 1.5(柯西序列是有界的)    任意一个柯西序列$(a_n)_{n=1}^\infty$是有界的.

证明    因为$(a_n)_{n=1}^\infty$是一个柯西序列,所以存在一个$N \geq 0$使得$d(a_j, a_k)\leq1$对所有的$j, k \geq N$均成立.

根据引理1.4,有限序列$a_1, \cdots, a_{N-1}$是有界的,令$M'$为该有限序列的界.

取$k=N,$ 那么$|a_j-a_N|\leq1$对所有的$j \geq N$成立,也即$a_N-1 \leq a_j \leq a_N+1$对所有的$j \geq N$成立. 令$M''=a_N+1,$ 对所有的$j \geq N, |a_j| \leq M'',$ 也即$(a_n)_{n=N}^\infty$是有界的.

令$M=\max\lbrace M', M'' \rbrace.$ 易得$|a_i| \leq M$对任意的$i \geq 1$均成立,也即$(a_n)_{n=1}^\infty$是有界的.  $\square$

现在我们想探究的是,如果给定任意两个序列,它们会收敛于同一个数字吗. 因此我们引入了等价序列的定义. 为了简便起见,如无特殊说明,$\lbrace a_n \rbrace=(a_n)_{n=1}^\infty.$

定义 1.6(等价序列)    两个序列$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$是等价的,当且仅当对于每一个有理数$\varepsilon>0,$ 存在一个$N\geq0$使得$|a_n-b_n|<\varepsilon$对所有的$n \geq N$均成立.

    命题1.6.1    设$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$是两个序列,且$a_n=1+10^{-n}, b_n=1-10^{-n}.$ 那么$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$是等价的.

    说明    这一命题的证明说明十进制表示不具有唯一性,也即我们常常看到的一个结论$1.000\cdots=0.999\cdots.$

2. 实数的构造


让我们暂时回忆起微积分中学习的极限的符号,我们将借助这一符号来定义实数,但请注意,此时这一符号与极限定义暂时毫无瓜葛. 如果你觉得别扭,你可以用任何一个符号来代替,只不过最终,这个符号与微积分中的极限终将匹配.

定义 2.1(实数)    实数为定义为形如$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$的对象,其中$\lbrace a_n \rbrace$是有理数的一个柯西序列. 称两个实数$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$和$\lim\limits_{n\to\infty}b_n$是相等的,当且仅当$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$是等价柯西序列. 由全体实数构成的集合记作$\mathbb{R}.$

为了确保实数的定义是有效的,我们还需要验证“相等”这一概念. 实际上在定义整数和自然数的时候,就应该提及这个概念.

定义 2.2(相等)    从逻辑学的角度说,相等必须遵守以下四条相等公理.

(2.2.1)(自反性)给定任意对象$x, x=x.$

(2.2.2)(对称性)给定任意两个同类型的对象$x, y,$ 如果$x=y,$ 那么$y=x.$

(2.2.3)(传递性)给定任意三个同类型的对象$x, y, z,$ 如果$x=y ,y=z,$ 那么$x=z.$

(2.2.4)(替换性)给定任意两个同类型的对象$x, y,$ 如果$x=y,$ 那么对任意一个函数或者运算$f$都有$f(x)=f(y).$ 类似地,对任意一个关于$x$的性质$P(x),$ 如果$x=y,$ 那么$P(x)$和$P(y)$就是等价的命题.

定理 2.3    设$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n, y=\lim\limits_{n\to\infty}b_n, z=\lim\limits_{n\to\infty}c_n$都是实数. 那么

(2.3.1)$x=x.$

(2.3.2)如果$x=y,$ 那么$y=x.$

(2.3.3)如果$x=y, y=z,$ 那么$x=z.$

证明    仅证明(2.3.3).

如果$x=y, y=z,$ 那么$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$是等价柯西序列,$\lbrace b_n \rbrace$和$\lbrace c_n \rbrace$是等价柯西序列.

也就是说,存在一个$N' \geq 0,$ 使$|a_n-b_n|<\frac{\varepsilon}{2}$对于所有的$n \geq N'$均成立. 存在一个$N'' \geq 0,$ 使$|b_n-c_n|<\frac{\varepsilon}{2}$对于所有的$n \geq N''$均成立.

令$N=\max\lbrace N', N'' \rbrace.$ 当$n \geq N, $ 有$|a_n-c_n|=|a_n-b_n+b_n-c_n|\leq|a_n-b_n|+|b_n-c_n|<\varepsilon,$ 也即$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace c_n \rbrace$是等价柯西序列,也即$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n=z.$  $\square$

说明    一旦我们证明了上述三个定理,两个实数相等的定义就是合理的. 关于替换性的证明需要在具体的性质中进行验证.

根据我们研究自然数、整数和有理数的过程,我们需要定义实数的算术运算.

定义 2.4(实数的加法)    设$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n, y=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$都是实数. 那么定义$x+y:=\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n).$

为了证明这一定义是有效的,我们需要确认两个实数的和是实数,也即证明柯西序列之和是柯西序列. 这一引理的证明不难,在此不再赘述. 此外,我们还需要验证替换性,也就是说证明:

定理 2.5(等价的柯西序列之和是等价的)    设$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n, y=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$和$x'=\lim\limits_{n\to\infty}a'_n$都是实数. 设$x=x',$ 那么$x+y=x'+y.$

证明    因为$x=x',$ 那么$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace a'_n \rbrace$是等价的,也即$$\forall\varepsilon>0, \exists N\geq0\ \ \mathrm{s.t.}\ \ \forall n \geq N, |a_n-a'_n|<\varepsilon.$$ 因此$$|a_n-a'_n|=|a_n+b_n-b_n-a'_n|=|(a_n+b_n)-(a'_n+b_n)|<\varepsilon,$$ 也即$\lbrace a_n+b_n \rbrace$和$\lbrace a'_n+b_n \rbrace$是等价的,那么$x+y=x'+y.$  $\square$

类似地,我们可以定义实数的乘法.

定义 2.6(实数的乘法)    设$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n, y=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$都是实数. 那么定义$xy:=\lim\limits_{n\to\infty}(a_nb_n).$

为了证明这一定义是有效的,我们需要确认两个实数的乘积是实数以及验证替换性. 这一定理的证明更加有趣,但实际上都是微积分里一些基础的证明方法,下面给出证明过程.

定理 2.7    设$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n, y=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$和$x'=\lim\limits_{n\to\infty}a'_n$都是实数. 那么$xy$也是实数. 如果$x=x',$ 那么$xy=x'y.$

证明    因为$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$是柯西序列,那么根据定理1.5,存在$M', M''\geq0$使得$|a_n| \leq M', |b_n| \leq M''.$ 取$M=\max\lbrace M', M'' \rbrace,$ 那么$|a_n|, |b_n| \leq M.$

根据定义,存在$N_1 \geq 0$使得$|a_j-a_k|<\frac{\varepsilon}{2M}$对所有的$j, k \geq N_1.$ 存在$N_2 \geq 0$使得$|b_j-b_k|<\frac{\varepsilon}{2M}$对所有的$j, k \geq N_2.$ 令$N=\max\lbrace N_1, N_2 \rbrace.$

我们有

$$\begin{aligned}|a_jb_j-a_kb_k|&=|a_jb_j-a_jb_k+a_jb_k-a_kb_k| \\ &\leq|a_jb_j-a_jb_k|+|a_jb_k-a_kb_k| \\ &=|a_j||b_j-b_k|+|b_k||a_j-a_k| \\ &\leq M|b_j-b_k|+M|a_j-a_k| \\&<M\frac{\varepsilon}{2M}+M\frac{\varepsilon}{2M}=\varepsilon,\end{aligned}$$

对所有的$j, k \geq N.$ 那么$\lbrace a_nb_n \rbrace$是柯西序列,所以$xy$是实数.

假设$x=x',$ 那么$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace a'_n \rbrace$是等价的. 那么,存在一个$N' \geq 0$使得$|a_n-a'_n|<\frac{\varepsilon}{M}$对所有的$n \geq N'.$

我们有

$$\begin{aligned}|a_nb_n-a'_nb_n|&=|b_n||a_n-a'_n| \\ &\leq M |a_n-a'_n| \\ &<M\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon,\end{aligned}$$

对所有的$n \geq N'.$ 那么$\lbrace a_nb_n \rbrace$和$\lbrace a'_nb_n \rbrace$是等价的,所以$xy=x'y.$  $\square$

当然,我们同样可以将有理数嵌入到实数定义中,在此不再赘述. 相似地,我们可以定义实数$x$的负运算$-x,$ 从而定义减法运算.

最后我们需要定义倒数运算. 显然我们可以猜测$$\left(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\right)^{-1}:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n^{-1}.$$ 然而这样的定义会存在一个问题,比如$\lbrace a_n^{-1} \rbrace$可能不是柯西序列(试举一例). 实际上,我们知道,只有$x\neq0$时,$x$才能进行倒数运算,因此我们需要进行一个严格定义.

定义 2.8    有理数序列$\lbrace a_n \rbrace$是远离$0$的,当且仅当存在一个有理数$c>0$使得$|a_n| \geq c$对一切$n\geq1$成立.

定理 2.9    如果$x$是一个不为零的实数,那么存在某个远离$0$的柯西序列$\lbrace a_n \rbrace$使得$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n.$

证明    因为$x$是一个实数,所以存在一个柯西序列$\lbrace b_n \rbrace$使得$x=\lim\limits_{n\to\infty}b_n.$

因为$x\neq0,$ 那么$\lbrace b_n \rbrace$和$\lbrace 0 \rbrace$不是等价序列. 换言之,存在一个$\varepsilon>0$使得对所有的$N_1 \geq 0,$ 存在$n_0\geq N_1$使得$|b_{n_0}|\geq\varepsilon.$

又因为$\lbrace b_n \rbrace$是柯西序列,所以存在$N_2\geq0,$ 对于所有的$n \geq N_2$有$|b_n-b_{n_0}|<\frac{\varepsilon}{2}.$ 令$ N=\max\lbrace N_1, N_2 \rbrace.$ 那么对一切$n \geq N,$ 有$b_{n_0}-\frac{\varepsilon}{2}<b_n<b_{n_0}+\frac{\varepsilon}{2},$ 所以$|b_n|\geq\frac{\varepsilon}{2}.$

定义

$$\lbrace a_n \rbrace=\begin{cases}\frac{\varepsilon}{2}, &1 \leq n \leq N-1 \\ b_n, &n \geq N\end{cases}.$$

所以$|a_n|\geq\frac{\varepsilon}{2}>0$对一切$n\geq1$成立,那么$\lbrace a_n \rbrace$是一个远离$0$得柯西序列.

不难证明$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$是等价序列,所以存在远离$0$得柯西序列$\lbrace a_n \rbrace$使得$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n.$  $\square$

定理 2.10    如果$\lbrace a_n \rbrace$是一个远离$0$得柯西序列,那么$\lbrace a_n^{-1} \rbrace$也是一个柯西序列.

证明    因为$\lbrace a_n \rbrace$是一个远离$0$得柯西序列,那么存在一个有理数$c>0$使得$|a_n| \geq c$对一切$n=1$成立.

并且对于任意的$\varepsilon>0,$ 存在$N\geq0$使得$|a_k-a_j| < c^2\varepsilon$对于所有$j, k \geq N$成立.

我们有$$\begin{aligned}|a^{-1}_j-a^{-1}_k|=\left|\frac{a_k-a_j}{a_ja_k}\right|\leq\frac{|a_k-a_j|}{c^2}<\frac{c^2\varepsilon}{c^2}=\varepsilon.\end{aligned}$$ 所以$\lbrace a_n^{-1} \rbrace$是一个柯西序列.  $\square$

有了上面的两个定理,我们可以定义倒数运算.

定义 2.11(实数的倒数)    令$x\neq0, x\in\mathbb{R}.$ 令$\lbrace a_n \rbrace$是一个远离$0$的柯西序列并且使得$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n.$ 那么定义倒数$x^{-1}:=\lim\limits_{n\to\infty}a_n^{-1}.$

类似地,我们还需要证明替换性.

定理 2.12    如果$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$是两个远离$0$的柯西序列,并且两个序列等价,那么$\lim\limits_{n\to\infty}a_n^{-1}=\lim\limits_{n\to\infty}b_n^{-1}.$

说明    考虑$P=\lim\limits_{n\to\infty}a^{-1}_n \times a_n(=b_n) \times b^{-1}_n,$ 且已经定义了关于有理数的倒数运算.

一旦有了倒数,实数除法运算也是与有理数除法运算相似的. 很容易证明,实数遵守所有上一节中提到的代数法则,不再赘述.