实分析|实数(二)

Posted by Derek on June 10, 2019

1. 实数排序


在对实数进行排序之前,我们要先定义正、负以及零.

定义 1.1    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个有理数序列,我们称该序列是正远离$0$的,当且仅当存在一个正有理数$c>0$使得$a_n \geq c$对所有的$n \geq 1$均成立. 称该序列是负远离$0$的,当且仅当存在一个负有理数$-c<0$使得$a_n \leq -c$对所有的$n \geq 1$均成立.

定义 1.2    称一个实数$x$是正的,当且仅当它能够写成$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n, \lbrace a_n \rbrace$是某个正远离$0$的柯西序列. 称$x$是负的,当且仅当它能够写成$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n, \lbrace a_n \rbrace$是某个负远离$0$的柯西序列.

定理 1.3    对于任意的实数$x,$ 下述三个命题中恰好有一个为真:$x=0, x>0, x<0.$

证明    因为$x$是一个实数,所以存在一个柯西序列$\lbrace a_n \rbrace$使得$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n.$

如果$x=0,$ 那么$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace 0 \rbrace$是等价柯西序列,也即对于每一个实数$\varepsilon>0,$ 存在一个$N \geq 0$使得$|a_n|<\varepsilon$对所有的$n \geq N$成立. 因此不存在$\varepsilon>0$使得$|a_n| \geq \varepsilon$对一切$n \geq 1$成立,那么$\lbrace a_n \rbrace$不远离$0,$ 因此根据定义可知$x$既不是正的也不是负的.

如果$x\neq0,$ 那么存在某个远离$0$的柯西序列$\lbrace a_n \rbrace$使得$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n,$ 也即存在$\varepsilon>0$使得$|a_n| \geq \varepsilon$对一切$n \geq 1$成立. 所以$a_n \geq \varepsilon$或者$a_n \leq -\varepsilon.$

因为$\lbrace a_n \rbrace$是柯西序列,所以对于每一个$\varepsilon>0,$ 存在一个$N \geq 0$使得$|a_i-a_j|<\frac{\varepsilon}{2}$对一切$i, j>N$成立. 因此$|a_i-a_n|<\frac{\varepsilon}{2}$成立.

如果$a_n\geq\varepsilon,$ 那么$\frac{\varepsilon}{2}<a_i<\frac{3\varepsilon}{2}$对一切$i>N$成立,所以$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n>0.$ 如果$a_n\leq-\varepsilon,$ 那么$-\frac{3\varepsilon}{2}<a_i<-\frac{\varepsilon}{2}$对一切$i>N$成立,所以$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n<0.$  $\square$

定理 1.4    正实数的其它基本性质包括:

(1.4.1)实数$x$是负的,当且仅当$-x$是正的.

(1.4.2)如果$x, y>0,$ 那么$x+y, xy>0.$

有了正负数的概念后,就可以定义绝对值和序了,不难发现这两个定义与在有理数中的定义是一致的.

定义 1.5(绝对值)    设$x$是实数,如果$x$是正的,那么我们定义$|x|:=x.$ 如果$x$是负的,则定义$|x|:=-x.$ 如果$x=0,$ 那么$|x|:=0.$

定义 1.6(实数的排序)    设$x, y$是实数,若$x-y$是一个正实数,则称$x>y.$ 若$x-y$是一个负实数,则称$x<y.$ 定义$x \geq y$当且仅当$x>y$或$x=y.$

定理 1.7(实数上序的基本性质)    设$x, y, z$是实数,那么:

(1.7.1)命题$x=y, x>y, x<y$恰有一个为真.

(1.7.2)$x<y$当且仅当$y>x.$

(1.7.3)如果$x<y, y<z,$ 那么$x<z.$

(1.7.4)如果$x<y,$ 那么$x+z<y+z.$

(1.7.5)如果$x<y, z>0,$ 那么$xz<yz.$

定理 1.8    设$x$是一个正实数,那么$x^{-1}$也是正的. 同时如果$y$是一个正实数且$x>y,$ 那么$x^{-1}<y^{-1}.$

说明    应用反证法证明.

定理 1.9    设$\lbrace a_n \rbrace$是非负有理数的一个柯西序列,那么$\lim\limits_{n\to\infty}a_n$是非负实数.

证明    假设$x=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$是一个负数,那么$x=\lim\limits_{n\to\infty}b_n, \lbrace b_n \rbrace$是某个负远离$0$的柯西序列,也即存在一个负有理数$-c<0,$ 使得$b_n \leq -c$对所有的$n \geq 1$成立. 又因为$\lbrace a_n \rbrace$是非负有理数的一个柯西序列,所以$a_n \geq 0$对所有$n \geq 1$成立. 因此$|a_n-b_n| \geq c,$ 也即$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$不是等价序列,所以$\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq\lim\limits_{n\to\infty}b_n,$ 推出$x \neq x.$  $\square$

推论 1.10    设$\lbrace a_n \rbrace$和$\lbrace b_n \rbrace$是有理数的柯西序列,并且满足$a_n \geq b_n$对所有的$n \geq 1$成立,那么$\lim\limits_{n\to\infty}a_n \geq \lim\limits_{n\to\infty}b_n.$

定理 1.11    设$x$是一个正实数,那么存在一个正有理数$q$使得$q \leq x,$ 并存在一个正整数$N$使得$x \leq N.$

定理 1.12(阿基米德性质)    设$x, \varepsilon$是任意正实数,那么存在一个正整数$M,$ 使得$M\varepsilon>x.$

证明    已知$\frac{x}{\varepsilon}$是正实数,根据定理1.11,存在一个正整数$N$使$\frac{x}{\varepsilon} \leq N.$ 令$M=N+1,$ 那么$\frac{x}{\varepsilon}<M \Rightarrow M\varepsilon>x.$  $\square$

定理 1.13    给定任意两个实数$x<y,$ 存在一个有理数$q$使得$x<q<y.$

证明    因为$x<y,$ 所以$y-x>0.$ 易证对任意的正实数$x,$ 存在一个正整数$N$使$x>\frac{1}{N}>0.$ 所以存在一个正整数$N$使$y-x>\frac{1}{N}>0.$

并且,对于正实数$Nx,$ 存在一个非负整数$n$使得$n \leq Nx <n+1 \Rightarrow \frac{n}{N} \leq x < \frac{n+1}{N}.$

所以,$y>x+\frac{1}{N}>\frac{n}{N}+\frac{1}{N}=\frac{n+1}{N}.$ 令$q=\frac{n+1}{N},$ 那么$x<q<y.$  $\square$

至此,我们完成了对实数的构造.

2. 最小上界性质


从之前的内容来看,实数和有理数的性质有诸多相似之处. 然而实数要比有理数更好的地方在于,实数系更完备.

一个有理数无法拥有的性质是,对于实数集$\mathbb{R}$的任意一个子集$S,$ 我们都能取到最小上界$\sup(S).$

定义 2.1(上界)    设$S$是$\mathbb{R}$的一个子集,并且$M$是一个实数. 称$M$是$S$的一个上界,当且仅当对于$S$众任意一个元素$x$都有$x \leq M.$

定义 2.2(最小上界)    设$S$是$\mathbb{R}$的一个子集,并且$M$是一个实数. 称$M$是$S$的一个最小上界,当且仅当$M$是$S$的一个上界并且$S$的任意其它上界$M'$一定大于或等于$M.$

定理 2.3(最小上界的唯一性)    设$S$是$\mathbb{R}$的一个子集,那么$S$最多有一个最小上界.

证明    假设$M, M'$是两个最小上界. 因为$M$是最小上界且$M'$是上界,所以$M' \geq M.$ 类似地,可以得到$M \geq M'.$ 所以$M=M'.$

定理 2.4(最小上界的存在性)    设$S$是$\mathbb{R}$的一个非空子集,如果$S$有一个上界,那么它必定恰好有一个最小上界.

证明    设$n \geq 1$是一个正整数,我们知道$S$有一个上界. 根据阿基米德性质,存在一个整数$K$使$\frac{K}{n} \geq N,$ 所以$\frac{K}{n}$也是$S$的一个上界.

因为$S$是非空的,所以我们可以选取$S$中的某个元素$x_0.$ 并且,存在一个整数$L$使$\frac{L}{n}<x_0.$ 因此,$\frac{L}{n}$不是$S$的上界,所以$L \leq K.$

我们可以找到一个整数$m_n$满足$L < m_n \leq K, \frac{m_n}{n}$是$S$的上界,但$\frac{m_n-1}{n}$不是$S$的上界,且这个整数$m_n$是唯一的.

证明    如果$m_n=K,$ 那么$\frac{m_n}{n}$是$S$的上界.

假设对于所有的$L < m_n \leq K, \frac{m_n}{n}$和$\frac{m_n-1}{n}$都是$S$的上界,或都不是$S$的上界.

如果$\frac{m_n}{n}$和$\frac{m_n-1}{n}$都是$S$的上界,那么$\frac{K}{n}$和$\frac{K-1}{n}$都是$S$的上界,持续这一过程我们会得到$\frac{L}{n}$也是$S$的上界,矛盾. 类似地,如果$\frac{m_n}{n}$和$\frac{m_n-1}{n}$都不是$S$的上界也会推出矛盾.

下一步我们要证明$m_n$的唯一性. 假设$m_n, m'_n$都符合这一性质,且$m_n \neq m'_n.$ 假设$m'_n<m_n,$ 那么$m'_n \leq m_n-1.$ 因为$\frac{m_n-1}{n}$不是$S$的上界,且$\frac{m'_n}{n}\leq\frac{m_n-1}{n},$ 所以$\frac{m'_n}{n}$不是$S$的上界,矛盾. 类似地,如果$m_n<m'_n$也会推出矛盾.  $\square$

设$N \geq 1$是一个正整数,设$n, n'\in\mathbb{Z}, n, n' \geq N.$ 那么我们可以找到$m_n, m_{n'}$满足$L <m_n, m_{n'} \leq K, \frac{m_n}{n}, \frac{m_{n'}}{n'}$是$S$的上界,$\frac{m_n-1}{n}, \frac{m_{n'}-1}{n'}$不是$S$的上界. 所以我们有$\frac{m_n}{n}>\frac{m_{n'}-1}{n'}.$ 因此,$$\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}>-\frac{1}{n}\geq-\frac{1}{N}.$$ 类似的,$\frac{m_n-1}{n}<\frac{m_{n'}}{n'}.$ 因此,$$\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}<\frac{1}{n}\leq\frac{1}{N}.$$ 所以,$\left|\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}\right|<\frac{1}{N}$对所有的$n, n' \geq N$成立.

根据阿基米德性质,对任意的$\varepsilon,$ 存在一个正整数$N$使$N\varepsilon>1 \Rightarrow \frac{1}{N}<\varepsilon.$ 所以对任意的$\varepsilon,$ 存在一个正整数$N$使$\left|\frac{m_n}{n}-\frac{m_{n'}}{n'}\right|<\frac{1}{N}<\varepsilon$对所有$n, n' \geq N$成立,所以$\lbrace \frac{m_n}{n} \rbrace$是一个柯西序列. 定义实数$M=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{m_n}{n},$ 易得$M=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{m_n-1}{n}.$

首先要证明$M$是$S$的上界. 令$x$是$S$中的任意一个元素,因为$\frac{m_n}{n}$是$S$的上界,所以$x \leq \frac{m_n}{n}$对所有的$n\geq1$成立. 可以证明$x \leq \lim\limits_{n\to\infty}\frac{m_n}{n}=M.$

证明    假设$x>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{m_n}{n}.$ 根据定理1.13,存在一个有理数$q$使$x>q>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{m_n}{n}.$ 令$b_n=q,$ 那么$\lbrace b_n \rbrace$是一个柯西数列并且$q<x\leq\frac{m_n}{n}$对于所有的$n \geq 1$成立. 根据推论1.10,我们有$q=\lim\limits_{n\to\infty}b_n\leq\lim\limits_{n\to\infty}\frac{m_n}{n},$ 故而矛盾.  $\square$

因此$M$是$S$的上界.

最后要证明$M$是$S$的最小上界. 假设$M'$是$S$的任意一个上界,因为$\frac{m_n-1}{n}$不是$S$的上界,所以$M'>\frac{m_n-1}{n}$对于所有的$n\geq1$成立. 类似地可以证明$M'>\lim\limits_{n\to\infty}\frac{m_n-1}{n}=M.$ 根据定义,$M$是$S$的最小上界.  $\square$

定义 2.5(上确界)    设$S$是$\mathbb{R}$的一个子集,如果$S$是非空的并且存在一个上界,那么我们定义$\sup(S)$为$S$的最小上界. 此外,如果$S$是非空的并且没有上界,那么我们定义$\sup(S):=+\infty;$ 如果$S$是空集,那么我们定义$\sup(S):=-\infty.$ 称$\sup(S)$是$S$的上确界.

最小上界的性质使实数比有理数更加完备,比如说我们找不到一个有理数$x$满足$x^2=2,$ 但我们能找到一个实数$x$满足$x^2=2.$

    命题 2.6    存在一个正实数$x$使$x^2=2.$

    证明    令$S=\lbrace y \in \mathbb{R}: y \geq 0, y^2 < 2 \rbrace.$ 观察可知,$2$是$S$的一个上界,且$1 \in S,$ 所以$S$非空. 因此,存在一个实数$x=\sup(S)$是$S$的最小上界.

现在我们要证明$x^2=2.$ 假设$x^2\neq2,$ 那么$x^2<2$或$x^2>2.$

设$0<\varepsilon<1$是一个较小的正实数. 如果$x^2<2,$ 且$\varepsilon^2<\varepsilon,$ 所以$(x+\varepsilon)^2=x^2+2x\varepsilon+\varepsilon^2<x^2+4\varepsilon+\varepsilon=x^2+5\varepsilon.$ 由于$x^2<2,$ 我们总是可以选一个较小的$\varepsilon$使$x^2+5\varepsilon<2,$ 于是$(x+\varepsilon)^2<2,$ 因此$x+\varepsilon \in S,$ 但这与$x$是$S$的上界矛盾.

如果$x^2>2,$ 且$0<\varepsilon,$ 所以$(x-\varepsilon)^2=x^2-2x\varepsilon+\varepsilon^2>x^2-4\varepsilon.$ 由于$x^2>2,$ 我们总是可以选一个较小的$\varepsilon$使$x^2-4\varepsilon>2,$ 于是$(x-\varepsilon)^2>2,$ 因此$x-\varepsilon$是$S$的一个上界,但这与$x$是$S$的最小上界矛盾.

因此,$x^2=2.$  $\square$