实分析|实数(三)

Posted by Derek on June 24, 2019

1. 实数的指数运算


关于实数的最后一个部分是指数运算,之前我们定义了$x^n,$ 其中$x\in\mathbb{Q}, n\in\mathbb{N}.$ 类似地,我们可以定义实数的指数运算.

定义 1.1(实数的自然数次幂)    设$x$是一个实数,定义$x^0:=1.$ 现在递归地假设对于某个自然数$n$已经定义了$x^n,$ 那么我们定义$x^{n+1}:=x^n \times x.$

定义 1.2(实数的整数次幂)    设$x$是一个非零实数,那么对任意的负整数$-n,$ 定义$x^{-n}:=\frac{1}{x^n}.$

这些定义与有理数的指数运算的定义是一致的,因此也容易证明有理数的指数运算性质在实数范围内同样成立. 现在可以考虑非整数次幂的指数运算,这一定义的确立得益于上确界的概念.

定义 1.3    设$x$是一个非负实数,$n$是一个正整数,我们定义$x$的$n$次根为$$x^\frac{1}{n}:=\sup\lbrace y\in\mathbb{R}: y\geq0, y^n \leq x \rbrace.$$

定理 1.4($n$次根的存在性)    设$x$是一个非负实数,$n$是一个正整数,那么集合$S:=\lbrace y\in\mathbb{R}: y\geq0, y^n \leq x \rbrace$是非空有上界的. 特别的,$x^\frac{1}{n}$是一个实数.

证明    不难证明,$0 \in S,$ 因此$S$是非空的.

现在我们需要证明$S$是有上界的.

我们首先考虑$x\leq1$的情况,那么$S$以$1$为上界. 假设存在$y \in S$使得$y>1,$ 那么$y^n>1,$ 从而$y^n>x,$ 从而矛盾. 所以$S$存在一个上界.

然后考虑$x>1$的情况,那么$S$以$x$为上界. 假设存在$y \in S$使得$y>x.$ 又因为$x>1,$ 所以$y>1.$ 因此$y^n>x,$ 从而矛盾. 所以$S$存在一个上界. 因此$S$是非空有上界的,从而$x^\frac{1}{n}$是一个实数.  $\square$

定理 1.5($n$次根的基本性质)    设$x, y$是非负实数,$n, m$是正整数.

(1.5.1)如果$y=x^\frac{1}{n},$ 那么$y^n=x.$ 反之成立.

(1.5.2)$x^\frac{1}{n}$是一个非负实数.

(1.5.3)$x>y$当且仅当$x^\frac{1}{n}>y^\frac{1}{n}.$

(1.5.4)如果$x>1,$ 那么$x^\frac{1}{n}$是关于$n$的一个减函数. 如果$x<1,$ 那么$x^\frac{1}{n}$是关于$n$的一个增函数. 如果$x=1,$ 那么对所有的$n$有$x^\frac{1}{n}=1.$

(1.5.5)$(xy)^\frac{1}{n}=x^\frac{1}{n}y^\frac{1}{n}.$

(1.5.6)$(x^\frac{1}{n})^\frac{1}{m}=x^\frac{1}{nm}.$

定义 1.6(实数的有理数次幂)    设$x$是一个正实数,$q$是一个有理数,且$q=\frac{a}{b}, a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}^+.$ 定义$x^q:=(x^\frac{1}{b})^a.$

定理 1.6    设$a, a'\in\mathbb{Z}, b, b'\in\mathbb{Z}^+,$ 且$\frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}.$ 设$x\in\mathbb{R}^+,$ 那么$(x^\frac{1}{b'})^{a'}=(x^\frac{1}{b})^a.$

说明    对$a>0, a<0, a=0$进行讨论.

定理 1.7(实数的有理数次幂的基本性质)    设$x, y\in\mathbb{R}^+, q, r\in\mathbb{Q}.$

(1.7.1)$x^q\in\mathbb{R}^+.$

(1.7.2)$x^{q+r}=x^qx^r, (x^q)^r=x^{qr}.$

(1.7.3)$x^{-q}=\frac{1}{x^q}.$

(1.7.4)如果$q>0,$ 那么$x>y$当且仅当$x^q>y^q.$

(1.7.5)如果$x>1,$ 那么$x^q>x^r$当且仅当$q>r.$ 如果$x<1,$ 那么$x^q>x^r$当且仅当$q<r.$

至此,我们还差实数的实数次幂没有定义,但这一部分内容将会在正式地给出了极限的概念之后进行补充. 关于数系的扩展,我们已经从自然数系扩充到了实数系,在接下来的分析中,我们默认实数遵守所有常用的法则与定理.