实分析|序列的极限(一)

Posted by Derek on August 28, 2019

1. 收敛和极限定律


在实数的定义里我们尚未正式地定义极限,因此我们要做一些完善. 实际上,这些定义几乎与微积分课程一致.

定义 1.1(实数的柯西序列)    对任意实数$\varepsilon>0$都存在一个$N \geq m$使得$|a_n-a_{n'}| \leq \varepsilon$对所有的$n, n' \geq N$成立,那么实数序列$\lbrace a_n \rbrace$是一个柯西序列.

说明    $m$表示的是某个整数指标,在下面的阐述中均沿用这个说法. 事实上,我也会写$N>0.$

定义 1.2(序列的收敛)    我们说实数序列$\lbrace a_n \rbrace$收敛于实数$L$当且仅当对任意给定的实数$\varepsilon>0,$ 存在一个$N \geq m$使$|a_n-L| \leq \varepsilon$对所有的$n \geq N$均成立.

定理 1.3(极限的唯一性)    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个实数序列,并且设实数$L \neq L',$ 那么$\lbrace a_n \rbrace$不可能同时收敛于$L$和$L'.$

说明    大部分证明唯一性的命题都可以使用反证法.

证明    假设$\lbrace a_n \rbrace$同时收敛于$L$和$L'.$ 所以对于任意的实数$\varepsilon>0,$ 存在一个$N \geq m$使$|a_n-L|\leq\varepsilon$对所有的$n \geq N$均成立. 类似地,存在一个$N' \geq m$使$|a_n-L'|\leq\varepsilon$对所有的$n \geq N'$均成立.

令$n=\max(N, N'),$ 那么有$|a_n-L|\leq\varepsilon$和$|a_n-L'|\leq\varepsilon.$

设$\varepsilon=\frac{|L-L'|}{4},$ 根据三角不等式,有$|L-L'|\leq2\varepsilon=\frac{|L-L'|}{2},$ 与$|L-L'|>0$矛盾. 也即$\lbrace a_n \rbrace$不可能同时收敛于$L$和$L'.$  $\square$

由此可见,极限的定义是合理的.

定理 1.4    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个收敛的实数序列,那么$\lbrace a_n \rbrace$也是一个柯西序列.

证明    假设$\lbrace a_n \rbrace$收敛于$L,$ 那么对任意给定的实数$\varepsilon>0,$ 存在一个$N \geq m$使$|a_n-L| \leq \frac{\varepsilon}{2}$对所有的$n \geq N$均成立. 类似地,$|a_{n'}-L|\leq\frac{\varepsilon}{2}$对所有的$n' \geq N$均成立.

根据三角不等式,有$|a_n-a_{n'}|\leq\varepsilon$对所有$n, n'\geq N$均成立,所以$\lbrace a_n \rbrace$是一个柯西序列.  $\square$

定义 1.5(有界序列)    实数序列$\lbrace a_n \rbrace$以实数$M$为界,当且仅当$|a_n| \leq M$对所有的$n \geq m$均成立. 我们称$\lbrace a_n \rbrace$是有界的,当且仅当存在某个实数$M>0$使得该序列以$M$为界.

定理 1.6(极限定律)    常见的极限定律与我们在微积分课上学过的一致,不再赘述.

2. 广义实数系


定义 2.1(广义实数系)    附加上两个额外元素$+\infty$和$-\infty$的实直线$\mathbb{R}$就是广义实数系$\mathbb{R}^*,$ 其中$+\infty$和$-\infty$互不相同,并且它们与每一个实数都不相同. 一个广义实数$x$是有限的,当且仅当它是一个实数;而广义实数$x$是无限的,当且仅当它等于$+\infty$或$-\infty.$

定义 2.2(广义实数的负运算)    定义$-(+\infty):=-\infty$和$-(-\infty):=+\infty.$

定义 2.3(广义实数的排序)    设$x, y$是广义实数,我们称$x \leq y$当且仅当下述三个命题之一为真.

(2.3.1)$x, y$都是实数,并且满足$x \leq y.$

(2.3.2)$y=+\infty.$

(2.3.3)$x=-\infty.$

定理 2.4    设$x, y, z$是广义实数,那么下列命题为真.

(2.4.1)(自反性)$x \leq x.$

(2.4.2)(三歧性)命题$x<y, x=y$和$x>y$中恰好有一个为真.

(2.4.3)(传递性)如果$x \leq y ,y \leq z,$ 那么$x \leq z.$

(2.4.4)(负运算使序改变)如果$x \leq y,$ 那么$-y \leq -x.$

为了避免一些问题,我们简单地不去定义其它算数运算. 比如说看似合理地令$+\infty+1=+\infty, +\infty+2=+\infty$会推出$1=2.$

现在,我们对上确界的概念进行推广.

定义 2.5(广义实数集的上确界)    设$S$是$\mathbb{R}^*$的一个子集,那么根据下列法则来定义$S$的上确界$\sup(S).$

(2.5.1)如果$S\subseteq\mathbb{R}$中,那么我们采用未推广的定义.

(2.5.2)如果$+\infty \in S,$ 那么$\sup(S):=+\infty.$

(2.5.3)如果$+\infty \notin S, -\infty \in S,$ 那么$\sup(S):=\sup(S \setminus\lbrace-\infty\rbrace),$ 也即回到法则(2.5.1).

定理 2.6    设$S\subseteq\mathbb{R}^*,$ 那么下列命题为真.

(2.6.1)对于每一个$x \in S$都有$x\leq\sup(S), x\geq\inf(S).$

(2.6.2)假设$M\in\mathbb{R}^*$是$S$的一个上界,那么$\sup(S) \leq M.$

(2.6.3)假设$M\in\mathbb{R}^*$是$S$的一个下界,那么$\inf(E) \geq M.$

3. 序列的上确界和下确界


定理 3.1(最小上界性质)    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个实数序列,并且设广义实数$x:=\sup(\lbrace a_n \rbrace).$ 那么$a_n \leq x$对所有的$n \geq m$均成立. 并且只要$M\in\mathbb{R}^*$是$\lbrace a_n \rbrace$的一个上界,就有$x \leq M.$ 最后,对每一个满足$y<x$的广义实数$y,$ 至少存在一个$n \geq m$使$y < a_n \leq x.$

说明    前两个子命题可以通过定理2.6得到,最后一个子命题可以采用反证法.

定理 3.2(单调有界序列收敛)    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个实数序列,它存在一个有限的上界$M\in\mathbb{R},$ 并且它还是单调递增的,那么$\lbrace a_n \rbrace$是收敛的,并且$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\sup(\lbrace a_n \rbrace) \leq M.$$

证明    令$x=\sup(\lbrace a_n \rbrace),$ 那么$x \leq M.$

对于所有的$\varepsilon>0,$ 我们有$x-\varepsilon<x,$那么存在$N \geq m$使$x-\varepsilon<a_N\leq x.$

因为序列是单调递增的,所以对于所有$n \geq N,$ 我们有$x-\varepsilon<a_N \leq a_n \leq x.$ 因此$|a_n-x|<\varepsilon,$ 也即$\lbrace a_n \rbrace$是收敛的,且$x-\varepsilon<a_N\leq x.$  $\square$

4. 上极限、下极限和极限点(一)


考虑一个序列,序列中有一半的元素不断逼近$1$,另一半的元素不断逼近$-1.$ 显然,这个序列是发散的. 为了更好地研究这一情况,我们引入极限点的概念.

定义 4.1(极限点)    对于任意的$\varepsilon>0$和任意的$N \geq m,$ 都存在一个$n \geq N$使$|a_n-x|\leq\varepsilon,$ 那么$x$就是$\lbrace a_n \rbrace$的一个极限点.

极限显然是极限点的一种特殊情形.

定理 4.2(极限是极限点)    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个收敛于$L$的序列,那么$L$是$\lbrace a_n \rbrace$的极限点,并且是唯一一个极限点.

现在,我们看两种特殊的极限点.

定义 4.3(上极限和下极限)    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个序列,我们定义一个新序列$\lbrace a_N^+ \rbrace,$ 其中$a_N^+:=\sup(\lbrace a_n \rbrace), n \geq N.$ 通俗地说,$a_N^+$是序列中从$a_N$开始继续往后数所有元素所构成集合的上确界. 于是我们定义序列$\lbrace a_n \rbrace$的上极限$\lim\sup\limits_{n\to\infty}a_n:=\inf(\lbrace a_N^+ \rbrace).$ 类似地,定义$a_N^-:=\inf(\lbrace a_n \rbrace), n \geq N,$ 序列的下极限$\lim\inf\limits_{n\to\infty}a_n:=\sup(\lbrace a_N^- \rbrace).$

大家不妨自己构造一些序列来寻找序列的上极限和下极限.