实分析|序列的极限(二)

Posted by Derek on August 30, 2019

1. 上极限、下极限和极限点(二)


在上一篇我们简单介绍了上极限、下极限和极限点的概念,现在我们来给出上极限和下极限的一些基本性质.

定理 1.1    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个实数序列,$L^+, L^-$是该序列的上极限和下极限.

(1.1.1)对任意的$x>L^+,$ 存在一个$N \geq m$使$a_n<x$对所有的$n \geq N$成立. 换言之,对于任意的$x>L^+,$ 序列$\lbrace a_n \rbrace$的元素最终会小于$x.$ 类似地,对于任意的$y<L^-,$ 存在一个$N \geq m$使$a_n>y$对所有的$n \geq N$成立.

(1.1.2)对任意的$x<L^+$和任意的$N \geq m,$ 存在一个$n \geq N$使$a_n>x.$ 换言之,对任意的$x<L^+,$ 序列$\lbrace a_n \rbrace$的元素无限多次超过$x.$ 类似地,对于任意的$y>L^-$和任意的$N \geq m,$ 存在一个$n \geq N$使$a_n<y.$

(1.1.3)$\inf(\lbrace a_n \rbrace) \leq L^- \leq L^+ \leq \sup(\lbrace a_n \rbrace).$

(1.1.4)如果$c$是$\lbrace a_n \rbrace$的一个极限点,那么$L^- \leq c \leq L^+.$

(1.1.5)如果$L^+$是有限的,那么$L^+$是$\lbrace a_n \rbrace$的极限点. 类似地,如果$L^-$是有限的,那么$L^-$是$\lbrace a_n \rbrace$的极限点.

(1.1.6)设$c$是一个实数,如果$\lbrace a_n \rbrace$收敛于$c,$ 那么一定有$L^+=L^-=c.$ 反之亦成立.

证明    本篇只证明(1.1.2),其余定理可以自己进行尝试.

(1.1.2)假设$x<L^+,$ 那么我们有$x<\inf(\lbrace a_N^+ \rbrace).$ 固定任意的$N \geq m,$ 根据下确界性质,我们有$x<a_N^+=\sup(\lbrace a_n \rbrace), n \geq N.$ 根据上确界性质,至少存在一个$n \geq N$使$x<a_n.$  $\square$

定理 1.2(比较原理)    设$\lbrace a_n \rbrace, \lbrace b_n \rbrace$是两个实数序列,它们满足$a_n \leq b_n,$ 对所有的$n \geq m$成立,那么我们有:

(1.4.1)$\sup(\lbrace a_n \rbrace) \leq \sup(\lbrace b_n \rbrace).$

(1.4.2)$\inf(\lbrace a_n \rbrace) \leq \inf(\lbrace b_n \rbrace).$

(1.4.3)$\lim\sup\limits_{n\to\infty}a_n \leq \lim\sup\limits_{n\to\infty} b_n.$

(1.4.4)$\lim\inf\limits_{n\to\infty}a_n \leq \lim\inf\limits_{n\to\infty} b_n.$

定理 1.3(夹逼定理)    设$\lbrace a_n \rbrace, \lbrace b_n \rbrace, \lbrace c_n \rbrace$是实数序列,并且它们满足对所有的$n \geq m$均有$a_n \leq b_n \leq c_n.$ 如果$\lbrace a_n \rbrace, \lbrace c_n \rbrace$收敛于$L,$ 那么$\lbrace b_n \rbrace$也收敛于$L.$

    推论 1.3.1(序列的零判别法)    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个实数序列,那么$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=0$当且仅当$\lim\limits_{n\to\infty} |a_n|=0.$

定理 1.4(实数的完备性)    实数序列$\lbrace a_n \rbrace$是柯西序列,当且仅当它是收敛的.

证明    此前,我们已经证明了任意的收敛序列都是柯西序列. 因此我们只需要证明任意的柯西序列是收敛序列.

设$\lbrace a_n \rbrace$是任意的柯西序列,那么$\lbrace a_n \rbrace$是有界序列(我们已经证明了有理数的柯西序列是有界的,同样可以推广到实数系中). 因此,$L^-=\lim\inf\limits_{n\to\infty}a_n$和$L^+=\lim\sup\limits_{n\to\infty}a_n$是有限的.

为了证明$\lbrace a_n \rbrace$是收敛的,我们只需要证明$L^-=L^+.$

设$\varepsilon>0$是任意实数,因为$\lbrace a_n \rbrace$是柯西序列,所以存在一个$N \geq m$使$|a_n-a_N|\leq\varepsilon$对所有的$n \geq N$成立,也即$$a_N-\varepsilon \leq a_n \leq a_N+\varepsilon.$$

根据确界的性质,对所有的$n \geq N,$ 我们有$$a_N-\varepsilon \leq \inf(\lbrace a_n \rbrace) \leq \sup(\lbrace a_n \rbrace) \leq a_N+\varepsilon.$$ 因此,$$a_N-\varepsilon \leq L^- \leq L^+ \leq a_N+\varepsilon.$$ 于是,$$0 \leq L^+-L^- \leq 2\varepsilon.$$

因为$0 \leq L^+-L^- \leq 2\varepsilon$对于任意$\varepsilon>0$成立,所以$L^+=L^-.$ 也即$\lbrace a_n \rbrace$是收敛序列.  $\square$

说明    简单地说,实数空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内,因此说明了实数的完备性. 而有理数空间中的序列可能会收到无理数空间中,因此说明了有理数不具有完备性的性质. 在分析学中,完备性是实数优于有理数的基本特征之一,这一特点将会在接下来的内容中体现.

2. 子序列


在介绍极限点时,我们构造了有多个极限点的序列,而显然这个序列是不收敛的. 但是,我们似乎可以将这个序列进行划分,得到不同的收敛的子序列. 这里,需要定义子序列的定义.

定义 2.1(子序列)    设$\lbrace a_n \rbrace, \lbrace b_n \rbrace$是实数序列,我们称$\lbrace b_n \rbrace$是$\lbrace a_n \rbrace$的一个子序列,当且仅当存在一个严格递增的函数$f: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$使$b_n=a_{f(n)}$对所有的$n \in \mathbb{N}$均成立.

子序列具有自反性和可传递性,但不具有对称性,这里的证明从略.

现在,我们把子序列和极限以及极限点联系起来.

定理 2.2    设$\lbrace a_n \rbrace$是实数序列,$L$是一个实数,那么下面两个命题是等价的:

(2.2.1)序列$\lbrace a_n \rbrace$收敛于$L;$

(2.2.2)$\lbrace a_n \rbrace$的每一个子序列都收敛于$L.$

定理 2.3    设$\lbrace a_n \rbrace$是实数序列,$L$是一个实数,那么下面两个命题是等价的:

(2.2.1)$L$是$\lbrace a_n \rbrace$的极限点;

(2.2.2)存在$\lbrace a_n \rbrace$的一个子序列收敛于$L.$

现在我们能够证明分析课程中一个重要定理:每一个有界序列都有一个收敛的子序列.

定理 2.4(波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理)    设$\lbrace a_n \rbrace$是有界序列,那么$\lbrace a_n \rbrace$至少有一个收敛的子序列.

说明    波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理说明了如果一个序列是有界的,那么它最终必然会收敛于某些点. 用拓扑学的语言来说,这意味着$\lbrace x \in \mathbb{R}: -M \leq x \leq M \rbrace$是紧的.

3. 实数的指数运算(二)


之前,我们定义了$x^q,$ 其中$x$是任意的正实数,$q$是任意的有理数. 但我们还没有定义$x^\mathrm{任意的实数}.$ 因此我们用极限来完善实数的指数运算.

定理 3.1(指数运算的连续性)    设$x>0, \alpha\in\mathbb{R}.$ 令$\lbrace q_n \rbrace$是任意一个收敛于$\alpha$的有理数序列,那么$\lbrace x^{q_n} \rbrace$也是一个收敛的序列. 并且,如果$\lbrace q_n' \rbrace$是另外任意一个收敛于$\alpha$的有理数序列,那么$$\lim\limits_{n\to\infty}x^{q_n}=\lim\limits_{n\to\infty}x^{q'_n}.$$

证明    需要对$x$进行分类讨论:$x>1, x=1, 0<x<1.$ 其中$x=1$是最简单的一种情况,在此我们仅证明$x>1$的情况.

首先,我们要证明$\lbrace x^{q_n} \rbrace$是收敛的,根据实数的完备性定理,我们只需要证明$\lbrace x^{q_n} \rbrace$是柯西序列.

不妨设$q_n \geq q_m,$ 于是$x^{q_n} \geq x^{q_m}.$ 且我们有$$x^{q_n}-x^{q_m}=x^{q_m}(x^{q_n-q_m}-1).$$ 由于$\lbrace q_n \rbrace$是收敛序列,于是存在某个上界$M,$ 并且$x^{q_n} \leq x^M.$ 所以我们有$$|x^{q_n}-x^{q_m}| \leq x^M(x^{q_n-q_m}-1).$$

设$\varepsilon>0.$ 我们可证对于任意的$x>0, \lim\limits_{n\to\infty}x^\frac{1}{n}=1,$ 因此存在某个$K \geq 1$使$|x^\frac{1}{n}-1|\ \leq \frac{\varepsilon}{x^M}.$

因为$\lbrace q_n \rbrace$是收敛的,所以它是柯西序列,从而存在$N \geq m$使$|q_n-q_m|\leq\frac{1}{K}.$ 所以$$|x^{q_n}-x^{q_m}| \leq M(x^\frac{1}{K}-1) \leq x^M\frac{\varepsilon}{x^M}=\varepsilon.$$ 从而证明$\lbrace x^{q_n} \rbrace$是柯西序列,也即是一个收敛的序列.

为了证明第二个子命题,我们只需要证明$\lim\limits_{n\to\infty}x^{q_n-q_n'}=1,$ 在此不再赘述.  $\square$

定理 3.2(实数次幂的指数运算)    设$x>0, \alpha$是一个实数,我们定义$$x^\alpha:=\lim\limits_{n\to\infty}x^{q_n},$$ 其中$\lbrace q_n \rbrace$是任意一个收敛于$\alpha$的有理数序列.

这个定义是明确的. 首先,给定任意一个实数$\alpha,$ 根据实数的定义,我们至少能够找到一个收敛于$\alpha$的有理数序列$\lbrace q_n \rbrace.$ 其次,给定任意的上述序列,$\lim\limits_{n\to\infty}x^{q_n}$存在. 最后,尽管$\lbrace q_n \rbrace$可能有多种选择,但都具有相同的极限. 因此,这个定义是明确的. 关于有理数次幂的指数运算下的所有性质都可以推广到实数次幂,在此不再赘述.