# 因果推断｜反事实（一）

Posted by Derek on June 21, 2020

# 2. 定义与计算反事实

## 2.1 反事实的结构解释

\begin{aligned} X&=aU \\Y&=bX+U \end{aligned}

\begin{aligned} X&=x \\Y&=bX+U \end{aligned}

Table 2.1 The values attained by $X(u), Y(u), Y_x(u),$ and $X_y(u)$ in the linear model
 $u$ $X(u)$ $Y(u)$ $Y_1(u)$ $Y_2(u)$ $Y_3(u)$ $X_1(u)$ $X_2(u)$ $X_3(u)$ $1$ $1$ $2$ $2$ $3$ $4$ $1$ $1$ $1$ $2$ $2$ $4$ $3$ $4$ $5$ $2$ $2$ $2$ $3$ $3$ $6$ $4$ $5$ $6$ $3$ $3$ $3$

## 2.3 从总体数据到个体行为

Figure 2.1 A graphical model1

\begin{aligned} X&=U_X \\ H&=aX+U_H \\ Y&=bX+cH+U_Y \\ \sigma_{U_iU_j}&=0, \forall i, j \in \lbrace X, H, Y \rbrace \end{aligned}

\begin{aligned} U_X&=0.5 \\ U_H&=1-0.5\times0.5=0.75 \\ U_Y&=1.5-0.7\times0.5-0.4\times1=0.75 \end{aligned}

Figure 2.2 A graphical model2

$$Y_{H=2}(U_X=0.5, U_H=0.75, U_Y=0.75)=0.5\times0.7+2\times0.4+0.75=1.9$$

## 2.4 计算反事实的步骤

1. Abduction: 利用观测$E=e$来确定$U$的值。
2. Action: 修改模型$M,$ 去掉结构方程中的$X$变量，用适当的$X=x$代替，得到修改后的模型$M_x.$
3. Prediction: 利用修改后的模型$M_x$和$U$计算$Y,$ 即反事实的结果。

1. Abduction: 根据观测更新$P(U),$ 得到$P(U|E=e).$
2. Action: 修改模型$M,$ 去掉结构方程中的$X,$ 并将其替换为相应的$X=x,$ 得到修改后的模型$M_x.$
3. Prediction: 使用修改后的模型$M_x$和对$U$的更新概率$P(U|E=e),$ 计算$Y$的期望值，即反事实的结果。

# Reference

1. Pearl, J., Glymour, M., & Jewell, N. P. (2016). Causal inference in statistics: A primer. John Wiley & Sons, 94.

2. Pearl, J., Glymour, M., & Jewell, N. P. (2016). Causal inference in statistics: A primer. John Wiley & Sons, 95.