实分析|级数(一)

Posted by Derek on August 10, 2020

1. 有限级数


定义 1.1(有限级数)    设$m, n$是整数,$(a_i)_{i=m}^n$是一个有限实数序列,其中对每一个整数$i$都对应一个实数$a_i.$ 我们根据递归公式来定义有限级数

$$\begin{aligned} &\sum_{i=m}^n a_i:=0, n<m \\&\sum_{i=m}^{n+1}a_i:=\left(\sum_{i=m}^n a_i\right)+a_{n+1}, n \geq m-1 \end{aligned}$$

定理 1.2(求和的基本性质)   

(1.2.1)设$m \leq n \leq p$都是整数,并且任意的整数$m \leq i \leq p$都对应一个实数$a_i,$ 那么$$\sum_{i=m}^n+\sum_{i=n+1}^p a_i=\sum_{i=m}^p a_i$$

(1.2.2)设$m \leq n$都是整数,$k$是另一个整数,并且任意的整数$m \leq i \leq n$都对应一个实数$a_i,$ 那么$$\sum_{i=m}^n a_i=\sum_{j=m+k}^{n+k} a_{j-k}$$

(1.2.3)设$m \leq n$都是整数,并且任意的整数$m \leq i \leq n$都对应一个实数$a_i,$ 那么$$\sum_{i=m}^n (a_i+b_i)=\left(\sum_{i=m}^n a_i\right)+\left(\sum_{i=m}^n b_i\right)$$

(1.2.4)设$m \leq n$都是整数,并且任意的整数$m \leq i \leq n$都对应一个实数$a_i, c$是另一个实数,那么$$\sum_{i=m}^n (ca_i)=c\left(\sum_{i=m}^n a_i\right)$$

(1.2.5)(有限级数的三角不等式)设$m \leq n$都是整数,并且任意的整数$m \leq i \leq n$都对应一个实数$a_i,$ 那么$$\left|\sum_{i=m}^n a_i\right| \leq \sum_{i=m}^n |a_i|$$

(1.2.6)(有限级数的比较判别法)设$m \leq n$都是整数,并且任意的整数$m \leq i \leq n$都对应一个实数$a_i, b_i.$ 假设对所有的$m \leq i \leq n$都有$a_i \leq b_i,$ 那么$$\sum_{i=m}^n a_i \leq \sum_{i=m}^n b_i$$

定义 1.3(有限集上的求和运算)    设$X$是含有$n$个元素的有限集,$n \in \mathbb{N},$ 并且设$f: X \to \mathbb{R}.$ 任意选取一个从$\lbrace i \in \mathbb{N}: 1 \leq i \leq n \rbrace$到$X$的双射$g,$ 我们定义$$\sum_{x \in X} f(x):=\sum_{i=1}^n f(g(i))$$

    设$X=\lbrace a, b, c \rbrace, f: X \to \mathbb{R}$是函数$f(a)=5, f(b)=4, f(c)=3.$ 为了计算$\sum\limits_{x \in X} f(x),$ 我们选取其中一个双射$g: \lbrace 1, 2, 3 \rbrace \to X,$ 满足$g(1)=a, g(2)=b, g(3)=c.$ 于是我们有$$\sum_{x \in X} f(x)=\sum_{i=1}^3 f(g(i))=f(a)+f(b)+f(c)=12$$

说明    我们也可以选取另一个双射$h: \lbrace 1, 2, 3 \rbrace \to X,$ 满足$h(1)=c, h(2)=b, h(3)=a,$ 但最终结果是一样的.这个例子说明了有限求和是定义明确的.

定理 1.4    设$X$是含有$n$个元素的有限集,$n \in \mathbb{N},$ 并且设$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$g: \lbrace i \in \mathbb{N}: 1 \leq i \leq n \rbrace \to X$和$h: \lbrace i \in \mathbb{N}: 1 \leq i \leq n \rbrace \to X$都是双射,我们有$$\sum_{i=1}^n f(g(i))=\sum_{i=1}^n f(h(i))$$

说明    可以利用归纳法证明.

定理 1.5(有限集上求和运算的基本性质)   

(1.5.1)如果$X$是空集,且$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数(即$f$是一个空函数),那么$$\sum_{x \in X} f(x)=0$$

(1.5.2)如果$X=\lbrace x_0 \rbrace,$ 且$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,那么$$\sum_{x \in X} f(x)=f(x_0)$$

(1.5.3)如果$X$是一个有限集,且$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$g: Y \to X$是一个双射,那么$$\sum_{x \in X} f(x)=\sum_{y \in Y} f(g(y))$$

(1.5.4)设$n \leq m$都是整数,$X=\lbrace i \in \mathbb{Z}: n \leq i \leq m \rbrace.$ 如果每一个整数$i \in X$都对应了一个实数$a_i,$ 那么$$\sum_{i=n}^m a_i=\sum_{i \in X} a_i$$

(1.5.5)设$X \cap Y=\emptyset$是两个有限集,且$f: X \cup Y \to \mathbb{R}$是一个函数,那么$$\sum_{z \in X \cup Y} f(z)=\left(\sum_{x \in X} f(x)\right)+\left(\sum_{y \in Y} f(y)\right)$$

(1.5.6)设$X$是一个有限集,$f: X \to \mathbb{R}$和$g: X \to \mathbb{R}$是函数,并且$c$是一个实数,那么$$\sum_{x \in X} (cf(x)+g(x))=c\sum_{x \in X} f(x)+\sum_{x \in X} g(x)$$

(1.5.7)设$X$是一个有限集,且设$f: X \to \mathbb{R}$和$g: X \to \mathbb{R}$是函数,并满足对所有$x \in X, f(x) \leq g(x)$,那么$$\sum_{x \in X} f(x) \leq \sum_{x \in X} g(x)$$

(1.5.8)(三角不等式)设$X$是一个有限集,且$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,那么$$\left|\sum_{x \in X} f(x)\right| \leq \sum_{x \in X} |f(x)|$$

说明    根据定理(1.5.3)和(1.5.4)可得,对任意一个从$\lbrace i \in \mathbb{Z}: n \leq i \leq m \rbrace$到其自身的双射$f$都有$$\sum_{i=n}^m a_i=\sum_{i=n}^m a_{f(i)}$$也即我们可以对一个有限序列中的元素进行随意的排列,并得到同一个和.

现在我们来研究双重有限级数,也即有限级数的有限级数,并探究它们是如何与笛卡尔积联系的.

引理 1.6    设$X, Y$是有限集,$f: X \times Y \to \mathbb{R}$是一个函数,那么$$\sum_{x \in X}\left(\sum_{y \in Y} f(x, y)\right)=\sum_{(x, y) \in X \times Y} f(x, y)$$

推论 1.7    设$X, Y$是有限集,$f: X \times Y \to \mathbb{R}$是一个函数,那么

$$\begin{aligned} \sum_{x \in X}\left(\sum_{y \in Y} f(x, y)\right)&=\sum_{(x, y) \in X \times Y} f(x, y) \\&=\sum_{(y, x) \in Y \times X} f(x, y) \\&=\sum_{y \in Y}\left(\sum_{x \in X} f(x, y)\right) \end{aligned}$$

2. 无限级数


定义 2.1(形式无限级数)    一个无限级数是形如$$\sum_{n=m}^\infty a_n$$的表达式,其中$m$是整数并且对任意的整数$n \geq m, a_n$是一个实数.

定义 2.2(级数的收敛)    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个形式无限级数,对任意的整数$N \geq m,$ 我们定义$S_N:=\sum\limits_{n=m}^N a_n.$ 如果当$N \to \infty$时,$(S_N)_{N=m}^\infty$收敛于某个极限$L,$ 那么无限级数$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是收敛的并收敛于$L,$ 记为$L=\sum\limits_{n=m}^\infty a_n.$ 如果部分和序列$(S_N)_{N=m}^\infty$是发散的,那么$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是发散的.

定理 2.3    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个实数的形式级数,那么$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$收敛当且仅当$$\forall\varepsilon>0, \exists N \geq m\ \text{s.t.}\ \left|\sum_{n=p}^q a_n\right| \leq \varepsilon, \forall p, q \geq N.$$ 证明    根据定义,我们有$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$收敛当且仅当$(S_N)_{N=m}^\infty$收敛,$S_N=\sum\limits_{n=m}^N a_n.$ 因此$(S_N)_{N=1}^\infty$是一个柯西序列,也即$$\forall\varepsilon>0, \exists N \geq m\ \text{s.t.}\ |S_q-S_{p-1}|=\left|\sum_{n=p}^q a_n\right| \leq \varepsilon, \forall p, q \geq N$$

$\square$

说明    就定理本身而言,在实际计算中并不是很有用.

推论 2.4(零判别法)    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个收敛的实数级数,那么我们一定有$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0.$ 也即如果$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$不为零或发散,那么级数$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是发散的.

证明    假设$\lim\limits_{n \to \infty} a_n \neq 0,$ 那么$$\forall \varepsilon>0, \forall n \in \mathbb{Z}, \exists M \geq n\ \text{s.t.}\ |a_M| \geq \varepsilon.$$ 如果$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是收敛的,那么给定一个$\varepsilon>0,$ 我们可以找到一个$N$满足$$\left|\sum_{n=p}^q a_n\right| \leq \frac{\varepsilon}{2}, \forall p, q \geq N$$ 我们可以找到一个$M \geq N$满足$a_M \geq \varepsilon,$ 但如果$p=q=M \geq N,$ 我们有$$\left|\sum_{n=p}^q a_n\right|=|a_M| \leq \frac{\varepsilon}{2}$$因此矛盾.  $\square$

说明    如果序列$(a_n)_{n=m}^\infty$收敛于$0,$ 那么$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$可能收敛或不收敛.

定义 2.5(绝对收敛)    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个实数的形式级数,我们称这个级数是绝对收敛的,当且仅当级数$\sum\limits_{n=m}^\infty |a_n|$是收敛的.

定理 2.6(绝对收敛判别法)    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个实数的形式级数,如果这个级数是绝对收敛的,那么它也是(条件)收敛的.

说明    逆命题不成立,存在(条件)收敛但不绝对收敛的级数.

定理 2.7(交错级数判别法)    设$(a_n)_{n=m}^\infty$是一个非负递减的实数序列,也即对任意的$n \geq m,$ 有$a_n \geq 0, a_n \geq a_{n+1}.$ 那么级数$\sum\limits_{n=m}^\infty (-1)^na_n$是收敛的,当且仅当$n \to \infty$时,序列$(a_n)_{n=m}^\infty$收敛于$0.$

定理 2.8(级数定律)   

(2.8.1)如果$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个收敛于$x$的实数级数,$\sum\limits_{n=m}^\infty b_n$是一个收敛于$y$的实数级数,$c$是一个实数,那么$\sum\limits_{n=m}^\infty (ca_n+b_n)$收敛于$cx+y.$ 特别地,我们有$$\sum_{n=m}^\infty (ca_n+b_n)=c\sum_{n=m}^\infty a_n+\sum_{n=m}^\infty b_n$$

(2.8.2)设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个实数级数,$k \geq 0$是一个整数. 如果级数$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$和$\sum\limits_{n=m+k}^\infty a_n$中有一个是收敛的,那么另外一个也是收敛的,并且我们有$$\sum_{n=m}^\infty a_n=\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n+\sum_{n=m+k}^\infty a_n$$

(2.8.3)设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个收敛于$x$的实数级数,$k$是一个整数,那么$\sum\limits_{n=m+k}^\infty a_{n-k}$也收敛于$x.$

证明    我们在此只证明(2.8.2). 根据定理,我们有$\forall \varepsilon>0$

$$\begin{aligned} \sum_{n=m}^\infty a_n\ \text{收敛}\ &\Leftrightarrow \exists N \geq m\ \text{s.t.}\ \left|\sum_{n=p}^q a_n\right| \leq \varepsilon, \forall p, q \geq N \\&\Leftrightarrow \exists \max \lbrace N, m+k \rbrace \geq m+k\ \text{s.t.}\ \left|\sum_{n=p}^q a_n\right| \leq \varepsilon, \forall p, q \geq N \\&\Leftrightarrow \sum_{n=m+k}^\infty a_n\ \text{收敛} \end{aligned}$$

令$S_N=\sum\limits_{n=m}^N a_n, T_N=\sum\limits_{n=m+k}^N a_n,$ 我们有$$S_N=\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n+T_N, \forall N \geq m+k$$当$N \to \infty,$ 即证恒等式.  $\square$

说明    根据定理(2.8.2)可知,一个级数的收敛性并不依赖于该级数的前几项.

定理 2.9(嵌套级数)    设$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=0,$ 那么级数$\sum\limits_{n=0}^\infty (a_n-a_{n+1})$收敛于$a_0.$

证明    令$S_N=\sum\limits_{n=0}^N (a_n-a_{n+1}),$ 不难看出,$S_N=a_0-a_{N+1}.$ 所以$$\sum_{n=0}^\infty (a_n-a_{n+1})=\lim_{N \to \infty} S_N=\lim_{N \to \infty} (a_0-a_{N+1})=a_0-\lim_{N \to \infty} a_{N+1}=a_0$$

$\square$