实分析|级数(二)

Posted by Derek on August 12, 2020

1. 非负数的和


定理 1.1    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个非负实数的形式级数,那么这个级数是收敛的当且仅当$$\exists M\ \text{s.t.}\ \sum_{n=m}^N a_n \leq M, \forall N \geq m$$

推论 1.2(比较判别法)    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$和$\sum\limits_{n=m}^\infty b_n$都是实数的形式级数,并且对任意的$n \geq m$均有$|a_n| \leq b_n.$ 如果$\sum\limits_{n=m}^\infty b_n$是收敛的,那么$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是绝对收敛的,并且$$\left|\sum\limits_{n=m}^\infty a_n\right| \leq \sum\limits_{n=m}^\infty |a_n| \leq \sum\limits_{n=m}^\infty b_n$$

引理 1.3(几何级数)    设$x$是实数,如果$|x| \geq 1,$ 那么$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$是发散的;如果$|x|<1,$ 那么这个级数是绝对收敛的,并且$$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$$

定理 1.4(柯西准则)    设$(a_n)_{n=1}^\infty$是一个递减的非负实数序列,那么级数$\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$是收敛的当且仅当级数$\sum\limits_{k=0}^\infty 2^ka_{2^k}$是收敛的.

推论 1.5    设$q>0$是一个有理数,那么当$q>1$时,级数$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^q}$是收敛的;当$q \leq 1$时,级数发散.

说明    当$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^q}$收敛时,它的和记作$\zeta(q),$ 被称为$q$的黎曼$\zeta$函数.

2. 级数的重排列


定理 2.1    设$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$是一个收敛的非负实数级数,$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$是一个双射,那么$\sum\limits_{m=0}^\infty a_{f(m)}$是收敛的,并且与原级数具有相同的和.

定理 2.2(级数的重排列)    设$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$是一个绝对收敛的实数级数,$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$是一个双射,那么$\sum\limits_{m=0}^\infty a_{f(m)}$也是绝对收敛的,并且与原级数具有相同的和.

3. 根植判别法和比值判别法


定理 3.1(根植判别法)    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个实数级数,$\alpha=\mathop{\lim\sup}\limits_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}.$

(3.1.1)如果$\alpha<1,$ 那么级数绝对收敛(从而也是条件收敛的).

(3.1.2)如果$\alpha>1,$ 那么级数不是条件收敛的(从而也不可能是绝对收敛的).

(3.1.3)如果$\alpha=1,$ 我们无法得出任何结论.

定理 3.2(根植判别法)    设$(c_n)_{n=m}^\infty$是一个正数数列,那么$$\mathop{\lim\inf}_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} \leq \mathop{\lim\inf}_{n \to \infty}c^{1/n}_n \leq \mathop{\lim\sup}_{n \to \infty} c_n^{1/n} \leq \mathop{\lim\sup}_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}$$ 推论 3.3    $\lim\limits_{n \to \infty}n^{1/n}=1.$

证明    我们有$$\mathop{\lim\sup_{n \to \infty} n^{1/n}} \leq \mathop{\lim\sup}_{n \to \infty} \frac{n+1}{n}=1$$同理,$$\mathop{\lim\inf}_{n \to \infty} n^{1/n} \geq \mathop{\lim\inf}_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}=1$$

$\square$

定理 3.4(比植判别法)    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个所有项都不为零的级数.

(3.3.1)如果$\mathop{\lim\sup}\limits_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{a_n}<1,$ 那么级数绝对收敛(从而也是条件收敛).

(3.3.2)如果$\mathop{\lim\inf}\limits_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{a_n}>1,$ 那么级数不是条件收敛的(从而也不可能是绝对收敛的).

(3.3.3)其余情况下,我们无法得出任何结论.