1. 可数性
关于无限集的大部分定理我们已经在抽象数学的课上证明了，因此不再赘述.
定义 1.1（可数集） 集合$X$是可数无限的（或简称为可数的），当且仅当$X$与$\mathbb{N}$有相等的势. 如果一个集合是无限的并且不是可数的，那么我们称该集合是不可数的.
说明 可数无限集也叫可列集.
定理 1.2（良序原理） 设$X$是$\mathbb{N}$的一个非空子集，那么恰好存在一个元素$n \in X,$ 使得对所有的$m \in X$都有$n \leq m.$ 也即，任意一个元素为自然数的非空集合都有一个最小元素.
定理 1.3 设$X$是$\mathbb{N}$的一个无限子集，那么存在唯一一个递增的双射$f: \mathbb{N} \to X.$ 特别地，$X$与$\mathbb{N}$具有相等的势，所以$X$是可数的.
推论 1.4 自然数集的所有子集都是可数的或者有限的（我们称之为至多可数的）.
推论 1.5 如果$X$是一个至多可数的集合，并且$Y \subseteq X,$ 那么$Y$也是至多可数的.
定理 1.6 设$Y$是一个集合，$f: \mathbb{N} \to Y$是一个函数，那么$f(\mathbb{N})$是至多可数的.
推论 1.7 设$X$是一个可数集，$f: X \to Y$是一个函数，那么$f(X)$是至多可数的.
定理 1.8 设$X, Y$是可数集, 那么$X \cup Y$是可数集.
推论 1.9 $\mathbb{Z}$是可数集.
定理 1.10 $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$是可数集.
推论 1.11 如果$X, Y$是可数集，那么$X \times Y$是可数集.
推论 1.12 $\mathbb{Q}$是可数集.
2. 在无限集上求和
定义 2.1（可数集上的级数） 设$X$是一个可数集，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 我们称级数$\sum\limits_{x \in X} f(x)$是绝对收敛的，当且仅当存在某个双射$g: \mathbb{N} \to X$使级数$\sum\limits_{n=0}^\infty f(g(n))$使绝对收敛的. 我们定义$$\sum_{x \in X} f(x)=\sum_{n=0}^\infty f(g(n))$$
定理 2.2 设$f: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{R}$是一个使$\sum\limits_{(n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}} f(n, m)$绝对收敛的函数，那么
$$\begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{m=0}^\infty f(n, m)\right)&=\sum_{(n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}} f(n, m) \\&=\sum_{(m, n) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}} f(n, m) \\&=\sum_{m=0}^\infty\left(\sum_{n=0}^\infty f(n, m)\right) \end{aligned}$$
定理 2.3 设$X$是一个至多可数的集合，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数，级数$\sum\limits_{x \in X} f(x)$是绝对收敛的，当且仅当$$\sup\left\lbrace \sum_{x \in A} |f(x)|: A \subseteq X\right\rbrace<\infty$$其中$A$是有限集.
定义 2.4 设$X$是一个集合，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数，级数$\sum\limits_{x \in X} f(x)$是绝对收敛的，当且仅当$$\sup\left\lbrace \sum_{x \in A} |f(x)|: A \subseteq X \right\rbrace < \infty$$其中$A$是有限集.
定理 2.5 设$X$是一个集合，$f: X \to \mathbb{R}$是一个使级数$\sum\limits_{x \in X} f(x)$绝对收敛的函数，那么$\lbrace x \in X: f(x) \neq 0 \rbrace$是至多可数的.
说明 对于不可数集$X$上任意一个绝对收敛的级数$\sum\limits_{x \in X} f(x),$ 我们可以定义其值为$$\sum_{x \in X} f(x)=\sum_{x \in X: f(x) \neq 0} f(x)$$因为我们用可数集$\lbrace x \in X: f(x) \neq 0 \rbrace$上的和替代了不可数集$X$上的和. 此外，这一定理的证明需要用到选择公理.
定理 2.6 设$X$是任意一个集合，$f: X \to \mathbb{R}$和$g: X \to \mathbb{R}$是使$\sum\limits_{x \in X} f(x)$和$\sum\limits_{x \in X} g(x)$都绝对收敛的两个函数.
（2.6.1）$\sum\limits_{x \in X} (cf(x)+g(x))$是绝对收敛的，且$$\sum\limits_{x \in X} (f(x)+g(x))=c\sum\limits_{x \in X} f(x)+\sum\limits_{x \in X} g(x)$$
（2.6.2）如果存在两个不相交的集合$X_1, X_2$使$X=X_1 \cup X_2,$ 那么$\sum\limits_{x \in X_1} f(x)$和$\sum\limits_{x \in X_2} f(x)$都是绝对收敛的，且$$\sum\limits_{x \in X_1 \cup X_2} f(x)=\sum\limits_{x \in X_1} f(x)+\sum\limits_{x \in X_2} f(x)$$如果$h: X \to \mathbb{R}$使$\sum\limits_{x \in X_1} h(x)$和$\sum\limits_{x \in X_2} h(x)$绝对收敛，那么$\sum\limits_{x \in X_1 \cup X_2} h(x)$也绝对收敛，且$$\sum\limits_{x \in X_1 \cup X_2} h(x)=\sum\limits_{x \in X_1} h(x)+\sum\limits_{x \in X_2} h(x)$$
（2.6.3）如果$Y$是一个集合，且$\phi: Y \to X$是一个双射，那么$\sum\limits_{y \in Y} f(\phi(y))$绝对收敛，且$$\sum_{y \in Y} f(\phi(y))=\sum_{x \in X} f(x)$$
说明 当$X$是不可数集时，本结论要用到选择公理.
证明 我们在此只证明（2.6.3）中的一部分——$\sum\limits_{y \in Y} f(\phi(y))$绝对收敛. 选择任意一个有限集$A \subseteq Y.$ 因为$\phi$是一个双射，$\phi(A) \subseteq X$是一个有限集. 令$$L=\sup\left\lbrace \sum_{x \in A} |f(x)|: A \subseteq X \right\rbrace < \infty$$我们有$$\sum_{y \in A} |f(\phi(y))|=\sum_{\phi(y) \in \phi(A)}|f(\phi(y))| \leq L$$因此$$\sup\left\lbrace \sum_{y \in A} |f(\phi(y))|: A \subseteq Y \right\rbrace \leq L < \infty$$因此，$\sum\limits_{y \in Y} f(\phi(y))$绝对收敛. $\square$
引理 2.7 设$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$是一个条件收敛但不绝对收敛的实数级数，定义$A_+=\lbrace n \in \mathbb{N}: a_n \geq 0 \rbrace$和$A_-=\lbrace n \in \mathbb{N}: a_n<0 \rbrace,$ 那么$\sum_{n \in A_+} a_n$和$\sum_{n \in A_-} a_n$都不是条件收敛的，从而也不是绝对收敛的.
定理 2.8 设$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n$是一个条件收敛但不绝对收敛的实数级数，$L$是任意一个实数，那么存在一个双射$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$使$\sum\limits_{m=0}^\infty a_{f(m)}$条件收敛于$L.$
说明 这一定理说明，对一个条件收敛但不绝对收敛的级数进行适当的重排列就可以使它收敛于任何值.
3. 不可数集
定理 3.1（康托尔定理） 设$X$使任意一个集合，那么$X$和$2^X$不可能有相同的势.
推论 3.2 $2^\mathbb{N}$是不可数集.
推论 3.3 $\mathbb{R}$是不可数集.
说明 这一结论表面实数集的势严格大于自然数集的势. 连续统假设则表明不存在某个集合使该集合的势严格大于自然数集的势，同时又严格小于实数集的势.
4. 选择公理
定义 4.1（无限笛卡尔积） 设$I$是一个集合，并且对任意的$\alpha \in I,$ 设$X_\alpha$是一个集合，我们定义笛卡尔积$$\prod_{\alpha \in I} X_\alpha=\left\lbrace (x_\alpha)_{\alpha \in I} \in \left( \bigcup_{\beta \in I} X_\beta \right)^I: x_\alpha \in X_\alpha, \forall \alpha \in I \right\rbrace$$ 公理 4.2（选择公理） 设$I$是一个集合，并且对每一个$\alpha \in I,$ 设$X_\alpha$是一个非空集合，那么集合$\prod\limits_{\alpha \in I} X_\alpha$也是非空的. 也即，存在一个函数$(x_\alpha)_{\alpha \in I}$对每一个$\alpha \in I$都指定了一个元素$x_\alpha \in X_\alpha.$
说明 给定一组非空集合$X_\alpha,$ 我们能从每一个$X_\alpha$中选出单独一个元素$x_\alpha,$ 从而利用选出的元素构造一个无限多元组$(x_\alpha)_{\alpha \in I}.$ 在某种意义上，选择公理只是在不断地重复利用另一定理：如果$A$是一个非空集合，那么存在$x$使得$x \in A.$ 在分析课程中，我们有时只需要把指标集$I$限制为至多可数.
公理 4.3 设$X, Y$是集合，且设关于$x \in X, y \in Y$的性质$P(x, y)$满足：对每一个$x \in X$都至少存在一个$y \in Y$使得$P(x, y)$为真. 那么，存在一个函数$f: X \to Y$使得$P(x, f(x))$对所有的$x \in X$均为真.
说明 这是选择公理的另一种表述.
5. 有序集
定义 5.1（偏序集） 偏序集是一个附加了关系$\leq_X$的集合$X$（所以对任意$x, y \in X$, 命题$x \leq_X y$要么为真，要么为假）. 我们假设这种关系遵守下面三个性质：
（5.1.1）自反性：对任意的$x \in X,$ 有$x \leq_X x.$
（5.1.2）反对称性：如果$x, y \in X$满足$x \leq_X y, y \leq_X x,$ 那么$x=y.$
（5.1.3）传递性：如果$x, y, z \in X$满足$x \leq_X y, y \leq_X z,$ 那么$x \leq_X z.$
说明 严格说，偏序集不是集合$X,$ 而是一个组合$(X, \leq_X).$
例 令$X=\lbrace \lbrace 1, 2 \rbrace, \lbrace 2 \rbrace, \lbrace 2, 3 \rbrace, \lbrace 2, 3, 4 \rbrace, \lbrace 5 \rbrace \rbrace,$ 并把集合的包含关系$\subseteq$作为$X$上的序关系，$X$是一个偏序集.
定义 5.2（全序集） 设$X$是一个偏序集，$\leq_X$是$X$上的序关系. 如果对于任意给定的$y, y' \in Y,$ 有$y \leq_X y'$或$y' \leq_X y$或两者皆成立，那么$X$的子集$Y$是全序的. 如果$X$本身是全序的，那么我们称$X$是一个附加了序关系$\leq_X$的全序集.
例 $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{R}^*$附加上通常的序关系$\leq$之后都是全序的. 如上一个例子中定义的$X$则不是全序集，因为$\lbrace 1, 2 \rbrace$与$\lbrace 2, 3 \rbrace$无法比较.
定义 5.3（最大元素和最小元素） 设$X$是一个偏序集，$Y \subseteq X.$ 如果$y \in Y$且不存在$y' \in Y$使$y'<y,$ 那么$y$是$Y$的最小元素. 如果不存在$y' \in Y$使$y<y',$ 那么$y$使$Y$的最大元素.
例 在之前的例子中定义的$X,$ 我们发现$\lbrace 2 \rbrace, \lbrace 5 \rbrace$是最小元素，$\lbrace 1, 2 \rbrace, \lbrace 2, 3, 4 \rbrace, \lbrace 5 \rbrace$是最大元素. 这个例子说明偏序集可以有多个最大元素和最小元素.
定义 5.4（良序集） 设$X$是一个偏序集，$Y$是$X$的一个全序子集. 如果$Y$的每一个非空子集都有最小元素，那么$Y$是良序的.
例 $\mathbb{N}$是良序的，但$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$则不是良序的.
说明 良序集自动遵守强归纳原理.
定义 5.5（上界和严格上界） 设$X$是一个以$\leq$为序关系的偏序集，$Y \subseteq X.$ 如果$x \in X,$ 我们称$x$是$Y$的一个上界，当且仅当对所有的$y \in Y$均有$y \leq x.$ 如果$x \notin Y,$ 我们称$x$是$Y$的一个严格上界.
例 考虑$(\mathbb{R}, \leq).$ $5$是$\lbrace x \in \mathbb{R}: 4 \leq x \leq 5 \rbrace$的上界，但不是严格上界. $6$是这个集合的严格上界.
定理 5.6 考虑偏序集$(X, \leq),$ 设$x_0 \in X,$ 那么存在$X$的一个良序子集$Y$使得$x_0$为$Y$的最小元素并且$Y$没有严格上界.
引理 5.7（佐恩引理） 设$X$是一个非空偏序集，且$X$的每一个全序子集$Y$都有一个上界，那么$X$至少有一个最大元素.
