实分析|实数系上的连续函数(一)

Posted by Derek on August 14, 2020

1. 实直线的子集


定义 1.1(区间)    设$a, b \in \mathbb{R}^\ast$是广义实数,我们定义闭区间为$$[a, b]=\lbrace x \in \mathbb{R}^\ast: a \leq x \leq b \rbrace$$半开区间为$$[a, b)=\lbrace x \in \mathbb{R}^\ast: a \leq x < b \rbrace; (a, b]=\lbrace x \in \mathbb{R}^\ast: a < x \leq b \rbrace$$开区间为$$(a, b)=\lbrace x \in \mathbb{R}^\ast: a<x<b \rbrace$$我们称$a$为区间的左端点,$b$为区间的右端点.

定义 1.2(附着点)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$x \in \mathbb{R}.$ 我们称$x$是$X$的一个附着点,当且仅当$$\forall \varepsilon>0, \exists y \in X\ \text{s.t}\ |x-y| \leq \varepsilon$$

定义 1.3(闭包)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集. $X$的闭包,$\overline{X},$ 是指由$X$的全体附着点所构成的集合.

定理 1.4(闭包的初等性质)    设$X, Y$是$\mathbb{R}$的子集,那么$X \subseteq \overline{X}, \overline{X \cup Y}=\overline{X} \cup \overline{Y}, \overline{X \cap Y} \subseteq \overline{X} \cap \overline{Y},$ 且如果$X \subseteq Y,$ 那么$\overline{X} \subseteq \overline{Y}.$

定理 1.5(区间的闭包)    设$a<b$是实数,$I$是区间$(a, b), (a, b], [a, b), [a, b]$中的任意一个. 那么$I$的闭包是$[a, b].$

定理 1.6    $\mathbb{N}$的闭包是$\mathbb{N}, \mathbb{Z}$的闭包是$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$的闭包是$\mathbb{R}, \mathbb{R}$的闭包是$\mathbb{R}, \emptyset$的闭包的是$\emptyset.$

证明    我们证明$\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}.$ 显然,$\overline{\mathbb{Q}} \subseteq \mathbb{R},$ 并且根据定理我们有$$\forall r \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon>0, \exists q \in \mathbb{Q}\ \text{s.t.}\ r<q<r+\varepsilon$$

$\square$

定理 1.7    设$X$是$\mathbb{R}$的子集,$x \in \mathbb{R}.$ 那么$x$是$X$的一个附着点,当且仅当存在一个完全由$X$中元素构成的序列$(a_n)_{n=0}^\infty$收敛于$x.$

证明    如果$x$是$X$的一个附着点,那么对于所有$n \in \mathbb{N}, \left\lbrace y \in X: |y-x|<\frac{1}{n} \right\rbrace$是非空的,因此根据选择公理,对所有的$n,$ 我们总是能找到一个$a_n \in X,$ 使$|a_n-x|<\frac{1}{n}, (a_n)_{n=0}^\infty$收敛于$x.$ 反之,如果这样一个序列存在,那么$$\forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_N-x|<\varepsilon$$ 因为$a_N \in X, x$是$X$的一个附着点.  $\square$

定义 1.8    如果$\overline{E}=E,$ 那么子集$E \subseteq \mathbb{R}$是闭的,即$E$的所有附着点都包含在$E$中.

推论 1.9    设$X$是$\mathbb{R}$的子集,如果$X$是闭的,并且$(a_n)_{n=0}^\infty$是一个由$X$中的元素构成的收敛序列,那么$\lim\limits_{n \to \infty} a_n \in X.$ 反过来,如果每一个由$X$中元素构成的收敛序列$(a_n)_{n=0}^\infty$的极限也都属于$X,$ 那么$X$是闭的.

定义 1.10(极限点和孤立点)    设$X$是实直线的一个子集,$x$是$X$的极限点(或聚点),当且仅当$x$是$X \setminus \lbrace x \rbrace$的一个附着点. 如果$x \in X,$ 且存在一个$\varepsilon>0$使$|x-y|>\varepsilon$对所有$y \in X \setminus \lbrace x \rbrace$成立,那么$x$是$X$的孤立点.

说明    根据定理1.7可知,$x$是$X$的极限点,当且仅当存在一个完全由$X$中不同于$x$的元素构成的序列$(a_n)_{n=0}^\infty,$ 且该序列收敛于$x.$ 这表明附着点组成的集合可以分成两部分,一部分是由极限点组成的,另一部分是由孤立点组成的.

定理 1.11    设$I$是一个区间,那么$I$的每一个元素的都是$I$的极限点.

定义 1.12(有界集合)    如果存在某个实数$M>0$使$X \subset [-M, M],$ 那么实直线的子集$X$是有界的.

定理 1.13(直线上的海涅-博雷尔定理)设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,那么下面两个命题是等价的:

(1.13.1)$X$是闭的且有界的.

(1.13.2)对所有的$n$均有$a_x \in X$的实数序列$(a_n)_{n=0}^\infty,$ 存在它的一个子序列$(a_{n_j})_{j=0}^\infty$收敛于$X$中的某个数$L.$

说明    用距离空间拓扑学的语言来说,该定理断定了实直线的任意一个闭的且有界的子集都是紧的.

2. 函数的极限值


我们在此略过对实值函数的算术运算的介绍.

定义 2.1(函数在一点处收敛)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$E \subseteq X, x_0$是$E$的一个附着点,$L$是一个实数. 我们称$f$在点$x_0$处沿着$E$收敛于$L,$ 记作$\lim\limits_{x \to x_0; x \in E} f(x)=L,$ 当且仅当$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\ \text{s.t.}\ |f(x)-L| \leq \varepsilon, \forall |x-x_0|<\delta, x \in E$$如果$f$在$x_0$处不收敛于任何数$L,$ 那么我们称$f$在$x_0$处发散,$\lim\limits_{x \to x_0; x \in E} f(x)$无定义.

说明    很多时候,我们会省略$E,$ 也即我们会写$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=L.$ 但这种省略在某些情况下会出问题,比如$E$是否包含$x_0$是有差别的. 但我们约定$\lim\limits_{x \to x_0} f(x)=\lim\limits_{x \to x_0; x \in X \setminus \lbrace x_0 \rbrace} f(x)$

定理 2.2    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$E \subseteq X, x_0$是$E$的一个附着点,$L$是一个实数. 下面两个命题是等价的:

(2.2.1)$f$在$x_0$处沿着$E$收敛于$L.$

(2.2.2)对于任意一个完全由$E$中元素构成并且收敛于$x_0$的序列$(a_n)_{n=0}^\infty,$ 序列$(f(a_n))_{n=0}^\infty$都收敛于$L.$

证明    如果$f$在$x_0$处沿着$E$收敛于$L,$ 那么$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\ \text{s.t.}\ |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$ 令$(a_n)_{n=0}^\infty \subseteq E$满足$a_0 \to x_0,$ 那么$$\exists N \in \mathbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-x_0|<\delta, \forall n>N$$因此如果$n>N,$ 我们有$|f(a_n)-L|<\varepsilon,$ 所以$(f(a_n))_{n=0}^\infty \to L.$

假设(2.2.2)成立,并假设$f$在$x_0$处沿着$E$不收敛于$L.$ 根据选择公理,$$\exists \varepsilon_0>0\ \text{s.t.}\ \forall N \in \mathbb{N}, \exists x_n \in E\ \text{s.t.}\ |x_n-x_0|<\delta, |f(x_n)-L| \geq \varepsilon$$序列$(x_n)_{n=0}^\infty \subseteq E,$ 但$(f(x_n))_{n=0}^\infty \not\to L,$ 与原假设矛盾.  $\square$

推论 2.3    如果$\lim\limits_{x \to x_0; x \in E} f(x)=L, \lim\limits_{n \to \infty} a_n=x_0,$ 那么$\lim\limits_{n \to \infty} f(a_n)=L.$

推论 2.4    $f$在$x_0$处沿着$E$至多有一个极限.

说明    可利用反证法证明.

定理 2.5(极限是局部的)    设$\delta>0,$ 那么$$\lim_{x \to x_0; x \in E} f(x)=L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0; x \in E \cap (x_0-\delta, x_0+\delta)} f(x)=L$$     令$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$为$$f(x)=\begin{cases} 1&x \in \mathbb{Q} \\0&x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}$$$f(x)$在$0$处沿着$\mathbb{R}$没有极限.

证明    假设$f(x)$在$0$处沿着$\mathbb{R}$有某个极限$L.$ 只要$(a_n)_{n=1}^\infty$收敛于$0,$ 我们就有$\lim\limits_{n \to \infty} f(a_n)=L.$ 显然$$L=\lim_{n \to \infty} f\left(\frac{1}{n}\right)=\lim_{n \to \infty} 1=1$$然而我们又有$$L=\lim_{n \to \infty}f\left(\frac{\sqrt{2}}{n}\right)=\lim_{n \to \infty} 0=0$$因为$1\neq0,$ 因而矛盾,所以$f(x)$在$0$处没有极限.  $\square$