实分析|实数系上的连续函数(二)

Posted by Derek on August 15, 2020

1. 连续函数


定义 1.1(连续)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$x_0 \in X.$ 我们称$f$在$x_0$处是连续的,当且仅当$$\lim_{x \to x_0; x \in X} f(x)=f(x_0)$$ 我们称$f$在$X$上是连续的,当且仅当对于任意的$x_0 \in X, f$在$x_0$处都是连续的.

定理 1.2(连续性的等价表达)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$x_0 \in X.$ 下面三个命题是等价的:

(1.2.1)$f$在$x_0$处是连续的.

(1.2.2)对于任意一个由$X$中元素构成的且满足$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=x_0$的序列$(a_n)_{n=0}^\infty,$ 都有$\lim\limits_{n \to \infty} f(a_n)=f(x_0).$

(1.2.3)对于任意的$\varepsilon>0,$ 都存在一个$\delta>0$使$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$对所有满足$|x-x_0|<\delta$的$x \in X$均成立.

关于连续函数的其它定理在此就不赘述了,比如算数运算、复合运算都保持连续性.

2. 左极限和右极限


定义 2.1(左极限和右极限)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$x_0$是一个实数. 如果$x_0$是$X \cap (x_0, \infty)$的一个附着点,那么定义$f$在$x_0$处的右极限为$$f(x_0+)=\lim_{x\ to x_0; x \in X \cap (x_0, \infty)} f(x)$$ 如果$x_0$是$X \cap (-\infty, x_0)$的一个附着点,那么定义$f$在$x_0$处的左极限为$$f(x_0-)=\lim_{x \to x_0; x \in X \cap (-\infty, x_0)} f(x)$$

定理 2.2    设$X$是$\mathbb{R}$的一个包含实数$x_0$的子集,$x_0$同时是$X \cap (x_0, \infty)$和$X \cap (-\infty, x_0)$的附着点,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 如果$f(x_0+)$和$f(x_0-)$都存在且都等于$f(x_0),$ 那么$f$在$x_0$处是连续的.

3. 最值原理


定义 3.1    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 如果存在一个实数$M$使得对所有的$x \in X$均有$f(x) \leq M,$ 那么我们称$f$是有上界的. 如果存在一个实数$M$使得对所有的$x \in X$均有$f(x) \geq -M,$ 那么我们称$f$是有下界的. 如果存在一个实数$M$使得对所有的$x \in X$均有$|f(x)| \leq M,$ 那么我们称$f$是有界的.

定理 3.2    设$a<b$为实数,$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的连续函数,那么$f$是一个有界函数.

说明    用反证法与海涅-博雷尔定理证明.

定义 3.3(最大值和最小值)    设$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$x_0 \in X.$ 如果对于所有的$x \in X$均有$f(x_0) \geq f(x),$ 那么$f$在$x_0$处达到最大值. 如果$f(x_0) \leq f(x),$ 那么$f$在$x_0$处达到最小值.

定理 3.4(最值原理)    设$a<b$都是实数,$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的连续函数. 那么$f$在某一点$x_\max \in [a, b]$处达到最大值,在某一点$x_\min \in [a, b]$处达到最小值.

说明    最值原理的证明在微积分课程中会提及,但是在之后我们会利用紧致性概念进行更好地证明.

4. 介值定理


定理 4.1(介值定理)    设$a<b, f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的连续函数,$y$是$f(a)$和$f(b)$之间的一个实数,那么存在$c \in [a, b]$使得$f(c)=y.$

推论 4.2    设$a<b, f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上得连续函数,$M=\sup\limits_{x \in [a, b]} f(x)$是$f$的最大值,$m=\inf\limits_{x \in [a, b]} f(x)$是$f$的最小值,$m \leq y \leq M,$ 那么存在一个$c \in [a, b]$使得$f(c)=y,$ 且$f([a, b])=[m, M].$

5. 单调函数


定义 5.1(单调函数)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. $f$是单调递增的,当且仅当只要$x<y \in X,$ 有$f(x) \leq f(y).$ $f$是严格单调递增的,当且仅当只要$x<y \in X,$ 有$f(x)<f(y).$ 同理我们可以定义(严格)单调递减.

定理 5.2    设$a<b$是实数,$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是一个连续、单调递增的函数,那么$f$是从$[a, b]$到$[f(a), f(b)]$的双射,并且它的反函数$f^{-1}: [f(a), f(b)] \to [a, b]$也是连续、单调递增的.

6. 一致连续性


定义 6.1(一致连续)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. $f$是一致连续的,如果$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\ \text{s.t.}\ x, x_0 \in X, |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$

说明    一致连续和连续的区别在于,在一致连续中我们可以取到单独的一个$\delta$使得这个$\delta$对所有的$x_0 \in X$均适用. 而对于一般的连续,不同的$x_0 \in X$可能使用了不同的$\delta.$ 因此每一个一致连续的函数都是连续的,反之不成立.

定义 6.2    设$m$是一个整数,$(a_n)_{n=m}^\infty, (b_n)_{n=m}^\infty$是实数序列,给定$\varepsilon>0.$ $(a_n)_{n=m}^\infty$是$\varepsilon$-接近于$(b_n)_{n=m}^\infty$的,当且仅当对于任意的$n \geq m, a_n$都是$\varepsilon$-接近于$b_n$的. $(a_n)_{n=m}^\infty$是最终$\varepsilon$-接近于$(b_n)_{n=m}^\infty$的,当且仅当存在一个$N \geq m$使$(a_n)_{n=N}^\infty$和$(b_n)_{n=N}^\infty$是$\varepsilon$-接近的. $(a_n)_{n=m}^\infty$和$(b_n)_{n=m}^\infty$是等价的,当且仅当对于任意的$\varepsilon>0, (a_n)_{n=m}^\infty$和$(b_n)_{n=m}^\infty$都是最终$\varepsilon$-接近的.

定理 6.3    设$(a_n)_{n=1}^\infty, (b_n)_{n=1}^\infty$都是实数序列,那么两个序列是等价的当且仅当$\lim\limits_{n \to \infty} (a_n-b_n)=0.$

定理 6.4    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,那么下述两个命题是等价的:

(6.4.1)$f$在$X$上是一致连续的.

(6.4.2)如果$(x_n)_{n=0}^\infty$和$(y_n)_{n=0}^\infty$是由$X$中元素构成的两个等价序列,那么$(f(x_n))_{n=0}^\infty$和$(f(y_n))_{n=0}^\infty$是等价的.

定理 6.5    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一致连续的函数,$(x_n)_{n=0}^\infty$是完全由$X$中的元素构成的柯西序列,那么$(f(x_n))_{n=0}^\infty$也是一个柯西序列.

推论 6.6    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一致连续的函数,$x_0$是$X$的附着点,那么$\lim\limits_{x \to x_0; x \in X} f(x)$存在.

定理 6.7    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一致连续的函数. 如果$E$是$X$的一个有界子集,那么$f(E)$也是有界的.

定理 6.8    设$a<b$都是实数,$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的连续函数,那么$f$也是一致连续的.

7. 在无限处的极限


现在我们简单讨论$x_0$等于$\pm\infty$时取极限的问题,在之后讨论拓扑空间后,我们会进一步讨论这个问题.

定义 7.1(无限附着点)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$\infty$是附着于$X$的,当且仅当对于任意的$M \in \mathbb{R}$都存在一个$x \in X$使$x>M.$ $-\infty$是附着于$X$的,当且仅当对于任意的$M \in \mathbb{R}$都存在一个$x \in X$使$x<M.$

说明    也就是说$\infty$是附着于$X$的,当且仅当$X$没有上界,或$\sup(X)=\infty.$ $-\infty$是附着于$X$的,当且仅当$X$没有下界,或$\inf(X)=-\infty.$

定义 7.2(在无限处的极限)    设$X$是$\mathbb{R}$的一给子集,$\infty$是$X$的一个附着点,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 我们称当$x \to \infty$时,$f(x)$沿着$X$收敛于$L, \lim\limits_{x \to \infty; x \in X} f(x)=L,$ 当且仅当$$\forall \varepsilon>0, \exists M\ \text{s.t.}\ x>M, x \in X \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$