1. 连续函数
定义 1.1（连续） 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数，$x_0 \in X.$ 我们称$f$在$x_0$处是连续的，当且仅当$$\lim_{x \to x_0; x \in X} f(x)=f(x_0)$$ 我们称$f$在$X$上是连续的，当且仅当对于任意的$x_0 \in X, f$在$x_0$处都是连续的.
定理 1.2（连续性的等价表达） 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数，$x_0 \in X.$ 下面三个命题是等价的：
（1.2.1）$f$在$x_0$处是连续的.
（1.2.2）对于任意一个由$X$中元素构成的且满足$\lim\limits_{n \to \infty} a_n=x_0$的序列$(a_n)_{n=0}^\infty,$ 都有$\lim\limits_{n \to \infty} f(a_n)=f(x_0).$
（1.2.3）对于任意的$\varepsilon>0,$ 都存在一个$\delta>0$使$|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$对所有满足$|x-x_0|<\delta$的$x \in X$均成立.
关于连续函数的其它定理在此就不赘述了，比如算数运算、复合运算都保持连续性.
2. 左极限和右极限
定义 2.1（左极限和右极限） 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数，$x_0$是一个实数. 如果$x_0$是$X \cap (x_0, \infty)$的一个附着点，那么定义$f$在$x_0$处的右极限为$$f(x_0+)=\lim_{x\ to x_0; x \in X \cap (x_0, \infty)} f(x)$$ 如果$x_0$是$X \cap (-\infty, x_0)$的一个附着点，那么定义$f$在$x_0$处的左极限为$$f(x_0-)=\lim_{x \to x_0; x \in X \cap (-\infty, x_0)} f(x)$$
定理 2.2 设$X$是$\mathbb{R}$的一个包含实数$x_0$的子集，$x_0$同时是$X \cap (x_0, \infty)$和$X \cap (-\infty, x_0)$的附着点，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 如果$f(x_0+)$和$f(x_0-)$都存在且都等于$f(x_0),$ 那么$f$在$x_0$处是连续的.
3. 最值原理
定义 3.1 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 如果存在一个实数$M$使得对所有的$x \in X$均有$f(x) \leq M,$ 那么我们称$f$是有上界的. 如果存在一个实数$M$使得对所有的$x \in X$均有$f(x) \geq -M,$ 那么我们称$f$是有下界的. 如果存在一个实数$M$使得对所有的$x \in X$均有$|f(x)| \leq M,$ 那么我们称$f$是有界的.
定理 3.2 设$a<b$为实数，$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的连续函数，那么$f$是一个有界函数.
说明 用反证法与海涅-博雷尔定理证明.
定义 3.3（最大值和最小值） 设$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数，$x_0 \in X.$ 如果对于所有的$x \in X$均有$f(x_0) \geq f(x),$ 那么$f$在$x_0$处达到最大值. 如果$f(x_0) \leq f(x),$ 那么$f$在$x_0$处达到最小值.
定理 3.4（最值原理） 设$a<b$都是实数，$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的连续函数. 那么$f$在某一点$x_\max \in [a, b]$处达到最大值，在某一点$x_\min \in [a, b]$处达到最小值.
说明 最值原理的证明在微积分课程中会提及，但是在之后我们会利用紧致性概念进行更好地证明.
4. 介值定理
定理 4.1（介值定理） 设$a<b, f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的连续函数，$y$是$f(a)$和$f(b)$之间的一个实数，那么存在$c \in [a, b]$使得$f(c)=y.$
推论 4.2 设$a<b, f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上得连续函数，$M=\sup\limits_{x \in [a, b]} f(x)$是$f$的最大值，$m=\inf\limits_{x \in [a, b]} f(x)$是$f$的最小值，$m \leq y \leq M,$ 那么存在一个$c \in [a, b]$使得$f(c)=y,$ 且$f([a, b])=[m, M].$
5. 单调函数
定义 5.1（单调函数） 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. $f$是单调递增的，当且仅当只要$x<y \in X,$ 有$f(x) \leq f(y).$ $f$是严格单调递增的，当且仅当只要$x<y \in X,$ 有$f(x)<f(y).$ 同理我们可以定义（严格）单调递减.
定理 5.2 设$a<b$是实数，$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是一个连续、单调递增的函数，那么$f$是从$[a, b]$到$[f(a), f(b)]$的双射，并且它的反函数$f^{-1}: [f(a), f(b)] \to [a, b]$也是连续、单调递增的.
6. 一致连续性
定义 6.1（一致连续） 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. $f$是一致连续的，如果$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\ \text{s.t.}\ x, x_0 \in X, |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$$
说明 一致连续和连续的区别在于，在一致连续中我们可以取到单独的一个$\delta$使得这个$\delta$对所有的$x_0 \in X$均适用. 而对于一般的连续，不同的$x_0 \in X$可能使用了不同的$\delta.$ 因此每一个一致连续的函数都是连续的，反之不成立.
定义 6.2 设$m$是一个整数，$(a_n)_{n=m}^\infty, (b_n)_{n=m}^\infty$是实数序列，给定$\varepsilon>0.$ $(a_n)_{n=m}^\infty$是$\varepsilon$-接近于$(b_n)_{n=m}^\infty$的，当且仅当对于任意的$n \geq m, a_n$都是$\varepsilon$-接近于$b_n$的. $(a_n)_{n=m}^\infty$是最终$\varepsilon$-接近于$(b_n)_{n=m}^\infty$的，当且仅当存在一个$N \geq m$使$(a_n)_{n=N}^\infty$和$(b_n)_{n=N}^\infty$是$\varepsilon$-接近的. $(a_n)_{n=m}^\infty$和$(b_n)_{n=m}^\infty$是等价的，当且仅当对于任意的$\varepsilon>0, (a_n)_{n=m}^\infty$和$(b_n)_{n=m}^\infty$都是最终$\varepsilon$-接近的.
定理 6.3 设$(a_n)_{n=1}^\infty, (b_n)_{n=1}^\infty$都是实数序列，那么两个序列是等价的当且仅当$\lim\limits_{n \to \infty} (a_n-b_n)=0.$
定理 6.4 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数，那么下述两个命题是等价的：
（6.4.1）$f$在$X$上是一致连续的.
（6.4.2）如果$(x_n)_{n=0}^\infty$和$(y_n)_{n=0}^\infty$是由$X$中元素构成的两个等价序列，那么$(f(x_n))_{n=0}^\infty$和$(f(y_n))_{n=0}^\infty$是等价的.
定理 6.5 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一致连续的函数，$(x_n)_{n=0}^\infty$是完全由$X$中的元素构成的柯西序列，那么$(f(x_n))_{n=0}^\infty$也是一个柯西序列.
推论 6.6 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一致连续的函数，$x_0$是$X$的附着点，那么$\lim\limits_{x \to x_0; x \in X} f(x)$存在.
定理 6.7 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$f: X \to \mathbb{R}$是一致连续的函数. 如果$E$是$X$的一个有界子集，那么$f(E)$也是有界的.
定理 6.8 设$a<b$都是实数，$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的连续函数，那么$f$也是一致连续的.
7. 在无限处的极限
现在我们简单讨论$x_0$等于$\pm\infty$时取极限的问题，在之后讨论拓扑空间后，我们会进一步讨论这个问题.
定义 7.1（无限附着点） 设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集，$\infty$是附着于$X$的，当且仅当对于任意的$M \in \mathbb{R}$都存在一个$x \in X$使$x>M.$ $-\infty$是附着于$X$的，当且仅当对于任意的$M \in \mathbb{R}$都存在一个$x \in X$使$x<M.$
说明 也就是说$\infty$是附着于$X$的，当且仅当$X$没有上界，或$\sup(X)=\infty.$ $-\infty$是附着于$X$的，当且仅当$X$没有下界，或$\inf(X)=-\infty.$
定义 7.2（在无限处的极限） 设$X$是$\mathbb{R}$的一给子集，$\infty$是$X$的一个附着点，$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 我们称当$x \to \infty$时，$f(x)$沿着$X$收敛于$L, \lim\limits_{x \to \infty; x \in X} f(x)=L,$ 当且仅当$$\forall \varepsilon>0, \exists M\ \text{s.t.}\ x>M, x \in X \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$$
