实分析|函数的微分

Posted by Derek on August 19, 2020

1. 基本定义


定义 1.1(在一点处的可微性)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$x_0 \in X$是$X$的一个极限点,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 如果极限$$\lim_{x \to x_0; x \in X \setminus \lbrace x_0 \rbrace} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$收敛于某个实数$L,$ 那么$f$在$X$中的$x_0$处可微,导数是$L,$ 记作$f'(x_0)=L.$ 如果极限不存在,或者$x_0 \notin X,$ 或者$x_0$不是$X$的极限点,那么$f'(x_0)$无定义,$f$在$X$中$x_0$处不可微.

说明    我们不定义一个函数在孤立点处的导数,例如我们把$f(x)=x$的函数限制到定义域$X=[-1, 1] \cup \lbrace 2 \rbrace$上,那么这个函数在$2$处不可微. 实际上定义域$X$总是一个区间,于是根据定理可知$X$中的每一点$x_0$都是极限点.

定理 1.2(牛顿逼近法)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$x_0 \in X$是$X$的一个极限点,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$L$是实数. 下列命题是等价的:

(1.2.1)$f$在$X$中的$x_0$处是可微的,导数为$L.$

(1.2.2)$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\ \text{s.t.}\ x \in X, |x-x_0| \leq \delta \Rightarrow |f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))| \leq \varepsilon|x-x_0|$$

说明    如果一个函数在$x_0$处是可微的,那么该函数在$x_0$附近是近似线性的. 我们也可以说,如果$f$在$x_0$处是可微的,那么$f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$

定理 1.3    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$x_0 \in X$是$X$的一个极限点,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 如果$f$在$x_0$处是可微的,那么$f$在$x_0$处也是连续的.

定义 1.4(在定义域上的可微性)    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数. 如果对于每个极限点$x_0 \in X, f$在$X$中的$x_0$处都是可微的,那么$f$在$X$上是可微的.

推论 1.5    设$X$是$\mathbb{R}$的一个子集,$f: X \to \mathbb{R}$是一个在$X$上可微的函数,那么$f$在$X$上也是连续的.

定理 1.6(微分计算)    略.

定理 1.7(链式法则)    设$X, Y \subseteq \mathbb{R}, x_0 \in X$是$X$的极限点,$y_0 \in Y$是$Y$的极限点,$f: X \to Y$是在$x_0$处可微的函数,$f(x_0)=y_0.$ 如果$g: Y \to \mathbb{R}$是在$y_0$处可微的函数,那么$g \circ f: X \to \mathbb{R}$在$x_0$处可微,且$$(g \circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0)$$

2. 局部最值与导数


定义 2.1(局部最值)    设$f: X \to \mathbb{R}$是一个函数,$x_0 \in X.$ 我们称$f$在$x_0$处达到局部最大值,当且仅当存在一个$\delta>0$使得$f$在$X \cap (x_0-\delta, x_0+\delta)$上的限制函数$f|_{X \cap (x_0-\delta, x_0+\delta)}$在$x_0$处达到最大值. 同理可以写出局部最小值的定义.

定理 2.2    设$a<b \in \mathbb{R}, f: (a, b) \to \mathbb{R}$是一个函数. 如果$x_0 \in (a, b), f$在$x_0$处可微,并在$x_0$处达到局部最大值或局部最小值,那么$f'(x_0)=0.$

说明    我们说局部最值是稳定的. 另外,如果把开区间换成闭区间,那么这个定理不成立. 在区间的端点处,即使导数不等于$0,$ 也有可能取到局部最值. 最后,这个定理的逆定理不成立.

定理 2.3(罗尔定理)    设$a<b \in \mathbb{R}, g: [a, b] \to \mathbb{R}$是一个连续函数,并且在$(a, b)$上可微. 如果$g(a)=g(b),$ 那么存在一个$x \in (a, b)$使得$g'(x)=0.$

推论 2.4(平均值定理)    设$a<b \in \mathbb{R}, f: [a, b] \to \mathbb{R}$是一个在$[a, b]$上连续且在$(a, b)$上可微的函数,那么存在一个$x \in (a, b)$使得$$f'(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

3. 单调函数及其导数


定理 3.1    设$X \subseteq \mathbb{R}, x_0 \in X$是$X$的极限点,$f: X \to \mathbb{R}.$ 如果$f$既单调递增又在$x_0$处可微,那么$f'(x_0) \geq 0.$ 如果$f$既单调递减又在$x_0$处可微,那么$f'(x_0) \leq 0.$

说明    首先$f$在$x_0$处必须是可微的. 其次如果$f$既严格单调递增,又在$x_0$处可微,那么我们不能得出结论$f'(x_0)>0.$ 但是我们的确有一个相反的结论.

定理 3.2    设$a<b, f: [a, b] \to \mathbb{R}$是可微函数. 如果对所有的$x \in [a, b]$均有$f'(x)>0,$ 那么$f$就是严格单调递增的. 反之亦然.

4. 反函数及其导数


定理 4.1    设$f: X \to Y$是一个可逆函数,它的反函数是$f^{-1}: Y \to X,$ 且$x_0 \in X$和$y_0 \in Y$使得$y_0=f(x_0).$ 如果$f$在$x_0$处是可微的,$f^{-1}$在$y_0$处是可微的,那么$$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$$

说明    可以利用链式法则证明. 但是这一定理必须提前假定$f^{-1}$是可微的,如果不知道$f^{-1}$是否可微,那么我们就不能利用这一定理去计算$f^{-1}$的导数. 因此我们需要一个条件更宽松的定理.

定理 4.2(反函数定理)    设$f: X \to Y$是一个可逆函数,它的反函数是$f^{-1}: Y \to X$ 且$x_0 \in X$和$y_0 \in Y$使得$y_0=f(x_0).$ 如果$f$在$x_0$处是可微的,$f^{-1}$在$y_0$处是连续的,并且$f'(x_0) \neq 0,$ 那么$f^{-1}$在$y_0$处可微,并且$$(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$$

证明    我们需要证明$$\lim_{y \to y_0; y \in Y \setminus \lbrace y_0 \rbrace} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}$$也即需要证明,对于任意一个由$Y \setminus \lbrace y_0 \rbrace$中的元素构成的且收敛于$y_0$的序列$(y_n)_{n=1}^\infty$都有$$\lim_{n \to \infty} \frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(y_0)}{y_n-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}$$ 设$x_n=f^{-1}(y_n),$ 因此$(x_n)_{n=1}^\infty$是由$X \setminus \lbrace x_0 \rbrace$中的元素构成的序列. 因为$f^{-1}$是连续的,因此当$n \to \infty$时,$x_n=f^{-1}(y_n)$收敛于$x_0=f^{-1}(y_0).$ 因为$f$在$x_0$处可微,我们有$$\lim_{n \to \infty} \frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}=f'(x_0) \neq 0$$ 因此$$\lim_{n \to \infty} \frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)}=\frac{1}{f'(x_0)}$$也即$$\lim_{n \to \infty} \frac{f^{-1}(y_n)-f^{-1}(y_0)}{y_n-y_0}=\frac{1}{f'(x_0)}$$

$\square$

5. 洛必达法则


定理 5.1(洛必达法则)    设$X \subseteq \mathbb{R}, f: X \to \mathbb{R}$和$g: X \to \mathbb{R},$ 且$x_0 \in X$是$X$的极限点. 如果$f(x_0)=g(x_0)=0, f$和$g$都在$x_0$处可微,$g'(x_0) \neq 0,$ 那么存在$\delta>0$使得对所有的$x \in (X \cap (x_0-\delta, x_0+\delta)) \setminus \lbrace x_0 \rbrace$都有$g(x) \neq 0,$ 并且$$\lim_{x \to x_0; x \in (X \cap (x_0-\delta, x_0+\delta)) \setminus \lbrace x_0 \rbrace} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$$