实分析|黎曼积分

Posted by Derek on August 21, 2020

我们现在来回顾一下一年级微积分课程中的积分学,由于很多定理已经证过,在此略过.

1. 划分


定义 1.1    设$X \subseteq \mathbb{R},$ 我们称$X$是连通的,当且仅当只要$x$和$y$是$X$中满足$x<y$的元素,$[x, y]$就是$X$的子集.

说明    之后我们会定义一个更一般的概念,它将适用于任何度量空间.

定理 1.2    设$X$是实直线的一个子集,下面两个命题是等价的:

(1.2.1)$X$是有界、连通的.

(1.2.2)$X$是一个有界区间.

推论 1.3    如果$I, J$都是有界区间,那么$I \cap J$也是一个有界区间.

定义 1.4(区间的长度)    如果$I$是一个有界区间,$[a, b], [a, b), (a, b]$或$(a, b),$ 那么$I$的长度,$|I|=b-a.$ 如果$I$是单点集或空集,那么$|I|=0.$

定义 1.5(划分)     设$I$是一个有界区间,$I$的一个划分是由有限个包含在$I$中的区间构成的一个集合$P,$ 它使得$I$中的每个元素$x$恰好属于$P$中的一个有界区间$J.$

定理 1.6(长度是有限可加的)    设$I$是一个有界区间,$n$是一个自然数,$P$是$I$的一个基数为$n$的划分,我们有$$|I|=\sum_{J \in P} |J|$$

定义 1.7    设$I$是一个有界区间,$P, P'$是$I$的两个划分. 如果对$P'$中的每一个$J$都存在$P$中的一个$K$使得$J \subseteq K,$ 那么我们说$P'$比$P$更细化.

说明    划分是区间的集合,我们同样可以定义一些集合的运算,比如$$P \cap P'=\lbrace K \cap J: K \in P, J \in P'\rbrace$$

定理 1.8    设$I$是一个有界区间,$P, P'$是$I$的两个划分,那么$P \cap P'$也是$I$的一个划分,并且它比$P, P'$更细化.

2. 上下黎曼积分


定义 2.1(黎曼和)    设$f: I \to \mathbb{R}$是定义在有界区间$I$上的有界函数,$P$是$I$的一个划分,我们把上黎曼和$U(f, P)$与下黎曼和$L(f, P)$定义为$$U(f, P)=\sum_{J \in P; J \neq \emptyset} \left(\sup_{x \in J} f(x)\right)|J|$$及$$L(f, P)=\sum_{J \in P; J \neq \emptyset} \left(\inf_{x \in J} f(x)\right)|J|$$

说明    $J \neq \emptyset$是必要的,因为如果$J$是空集,那么$\inf\limits_{x \in J} f(x)$和$\sup\limits_{x \in J} f(x)$就是(负)无穷大.

定义 2.2(上下黎曼积分)    设$f: I \to \mathbb{R}$是定义在有界区间$I$上的有界函数,定义上黎曼积分为$$\overline{\int}_I f=\inf\lbrace U(f, P): P\text{是}I\text{的划分} \rbrace$$以及下黎曼积分为$$\underline{\int}_If=\sup\lbrace L(f, P): P\text{是}I\text{的划分}\rbrace$$

定理 2.3    设$f: I \to \mathbb{R}$是定义在有界区间$I$上的有界函数,且对所有的$x \in I$均有$|f(x)| \leq M, M>0.$ 我们有$$-M|I| \leq \underline{\int}_I f \leq \overline{\int}_I f \leq M|I|$$

定义 2.4(黎曼积分)    设$f: I \to \mathbb{R}$是定义在有界区间$I$上的有界函数,如果$\underline{\int}_I f=\overline{\int}_I f,$ 那么我们称$f$在$I$上是黎曼可积的,并定义$$\int_I f=\underline{\int}_I f=\overline{\int}_I f$$ 如果上下黎曼积分不相等,那么我们称$f$不是黎曼可积的.

说明    无界函数不是黎曼可积的,涉及无界函数的积分被称作反常积分.

关于黎曼积分的基本性质,在此不再赘述.

3. 连续函数的黎曼可积性


定理 3.1    设$I$是一个有界区间,$f$是定义在$I$上的一致连续函数,那么$f$是黎曼可积的.

证明    根据定理可知,$f$是有界的,因此我们只需要证明$\underline{\int}_I f=\overline{\int}_I f.$ 如果$I$是一个单点集或空集,那么定理显而易见地成立. 现在假设$I$是区间$[a, b], [a, b), (a, b], (a, b)$的其中一个,$a<b \in \mathbb{R}.$

因为$f$是一致连续的,所以$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\ \text{s.t.}\ x, y \in I, |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$$

根据阿基米德性质可知,存在一个整数$N>0$使得$\frac{b-a}{N}<\delta.$ 我们把$I$划分成$N$个区间,每个区间长度为$\frac{b-a}{N}.$ 因此我们有$$\overline{\int}_I f \leq \sum_{k=1}^N \left( \sup_{x \in J_k} f(x) \right)|J_k|$$和$$\underline{\int}_I f \geq \sum_{k=1}^N \left( \inf_{x \in J_k} f(x) \right)|J_k|$$因此$$\overline{\int}_I f-\underline{\int}_I f \leq \sum_{k=1}^N \left( \sup_{x \in J_k} f(x)-\inf_{x \in J_k} f(x) \right)|J_k|$$ 因为$|J_k|=\frac{b-a}{N}<\delta,$ 所以对所有的$x, y \in J_k$均有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon.$ 所以我们有$$f(x)<f(y)+\varepsilon, \forall x, y \in J_k$$因此$$\sup_{x \in J_k} f(x) \leq f(y)+\varepsilon, \forall y \in J_k$$并且$$\sup_{x \in J_k} f(x) \leq \inf_{y \in J_k} f(y)+\varepsilon$$因此$$\overline{\int}_I f-\underline{\int}_I f \leq \sum_{k=1}^N \varepsilon|J_k|=\varepsilon(b-a)$$ 因为$\varepsilon>0$是任意的,所以$\underline{\int}_I f=\overline{\int}_I f,$ 也即$f$是黎曼可积的.  $\square$

推论 3.2    设$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是连续的,那么$f$是黎曼可积的.

定理 3.3    设$I$是一个有界区间,$f: I \to \mathbb{R}$是一个连续且有界的函数,那么$f$在$I$是黎曼可积的.

定理 3.4    设$I$是一个有界区间,$f: I \to \mathbb{R}$既是分段连续的又是有界的,那么$f$是黎曼可积的.

4. 单调函数的黎曼可积性


定理 4.1    设$[a, b]$是一个有界闭区间,$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是单调函数,那么$f$在$[a, b]$上是黎曼可积的.

推论 4.2    设$I$是一个有界区间,$f: I \to \mathbb{R}$既是单调有界的,那么$f$在$I$上是黎曼可积的.

定理 4.3(积分判别法)    设$f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$是一个单调递减的函数,并且对所有的$x \geq 0$有$f(x) \geq 0,$ 那么级数$\sum\limits_{n=0}^\infty f(n)$是收敛的,当且仅当$\sup\limits_{N>0} \int_{[0, N]} f$是有限的.

推论 4.3    设$p \in \mathbb{R}.$ 当$p>1$时,级数$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$是绝对收敛的;当$p \leq 1$时,级数发散.

5. 非黎曼可积的函数


    设$f: [0, 1] \to \mathbb{R}$为$$f(x)=\begin{cases} 1&x \in \mathbb{Q} \\0& x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$$那么$f$是有界的,但不是黎曼可积的.

证明    设$P$是$[0, 1]$的任意一个划分,对于任意的$J \in P,$ 如果$J$既不是单点集也不是空集,那么$$\sup_{x \in J} f(x)=1 \Rightarrow \left( \sup_{x \in J} f(x) \right)|J|=|J|$$因为长度是有限可加的,所以$$U(f, P)=\sum_{J \in P; J \neq \emptyset} |J|=|[0, 1]|=1 \Rightarrow \overline{\int}_{[0, 1]} f=1.$$ 类似地,$$\underline{\int}_{[0, 1]} f=0$$ 因此这个函数不是黎曼可积的.  $\square$

6. 黎曼-斯蒂尔杰斯积分


定义 6.1($\alpha$-长度)    设$I$是一个有界区间,$\alpha: X \to \mathbb{R}$是定义在某个包含$I$的区域$X$上的函数. 我们定义$I$的$\alpha$-长度$\alpha[I]$为:如果$I$是一个单点集或空集,那么$\alpha[I]=0;$ 否则,$\alpha[I]=\alpha(b)-\alpha(a), a<b.$

定理 6.2    设$I$是一个有界区间,$\alpha: X \to \mathbb{R}$是定义在某个包含$I$的区域$X$上的函数,$P$是$I$的一个划分,我们有$$\alpha[I]=\sum_{J \in P} \alpha[J]$$

定义 6.3(分段常值黎曼-斯蒂尔杰斯积分)    设$I$是一个有界区间,$P$是$I$的一个划分,$\alpha: X \to \mathbb{R}$是定义在某个包含$I$的区域$X$上的函数,$f: I \to \mathbb{R}$是关于$P$的分段常数函数,我们定义$$p.c.\int_{[P]}f\text{d}\alpha=\sum_{J \in P} c_J\alpha[J]$$其中$c_J$是$f$在$J$上的常值.

7. 微积分基本定理


定理 7.1(微积分第一基本定理)    设$a<b \in \mathbb{R}, f: [a, b] \to \mathbb{R}$是黎曼可积的函数,$F: [a, b] \to \mathbb{R}$为$$F(x)=\int_{[a, x]} f$$ 那么$f$是连续的. 另外,如果$x_0 \in [a, b]$且$f$在$x_0$处连续,那么$F$在$x_0$处可微且$F'(x_0)=f(x_0).$

定义 7.2(原函数)    设$I$是一个有界区间,$f: I \to \mathbb{R}.$ 如果$F: I \to \mathbb{R}$在$I$上可微,并且对所有的$x \in I$均有$F'(x)=f(x),$ 那么我们称$F$是$f$的原函数.

定理 7.3(微积分第二基本定理)    设$a<b \in \mathbb{R}, f: [a, b] \to \mathbb{R}$是一个黎曼可积的函数. 如果$F: [a, b] \to \mathbb{R}$是$f$的原函数,那么$$\int_{[a, b]} f = F(b)-F(a)$$

说明    只要能找到被积函数$f$的一个原函数,我们就可以利用微积分第二基本定理去计算积分. 微积分第一基本定理保证了每一个黎曼可积的连续函数都有一个原函数,关于不连续的函数情况则更为复杂,我们在此不做讨论. 此外,不是所有存在原函数的函数都是黎曼可积的.

定理 7.4    设$I$是一个有界区间,$f: I \to \mathbb{R},$ $F: I \to \mathbb{R}$和$G: I \to \mathbb{R}$是$f$的两个原函数. 那么存在一个实数$C$使得对所有的$x \in I$有$F(x)=G(x)+C.$

定理 7.5(分部积分法)    设$I=[a, b], F: [a, b] \to \mathbb{R}$和$G: [a, b] \to \mathbb{R}$都是$[a, b]$上的可微函数,$F'$和$G'$在$I$上都是黎曼可积的. 我们有$$\int_{[a, b]} FG'=F(b)G(b)-F(a)G(a)-\int_{[a, b]} F'G$$

定理 7.6    设$\alpha: [a, b] \to \mathbb{R}$是一个在$[a, b]$上单调递增的可微函数,$\alpha'$是黎曼可积的,$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的分段常数函数. 那么$f\alpha'$在$[a, b]$上黎曼可积,且$$\int_{[a, b]} f\text{d}\alpha=\int_{[a, b]} f\alpha'$$

推论 7.7    设$\alpha: [a, b] \to \mathbb{R}$是一个在$[a, b]$上单调递增的可微函数,$\alpha'$是黎曼可积的,$f: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$关于$\alpha$黎曼-斯蒂尔杰斯可积的函数,那么$f\alpha'$在$[a, b]$上是黎曼可积的,且$$\int_{[a, b]} f\text{d}\alpha=\int_{[a, b]} f\alpha'$$

定理 7.8    设$\phi: [a, b] \to [\phi(a), \phi(b)]$是一个单调递增的连续函数,$f: [\phi(a), \phi(b)] \to \mathbb{R}$是$[\phi(a), \phi(b)]$上的分段常数函数,那么$f \circ \phi: [a, b] \to \mathbb{R}$是$[a, b]$上的分段常数函数,且$$\int_{[a, b]} f \circ \phi \text{d}\phi=\int_{[\phi(a), \phi(b)]} f$$

定理 7.9    设$\phi: [a, b] \to [\phi(a), \phi(b)]$是一个单调递增的连续函数,$f: [\phi(a), \phi(b)] \to \mathbb{R}$是$[\phi(a), \phi(b)]$上的黎曼可积函数,那么$f \circ \phi: [a, b] \to \mathbb{R}$在$[a, b]$上关于$\phi$是黎曼-斯蒂尔杰斯可积的,且$$\int_{[a, b]} f \circ \phi \text{d}\phi=\int_{[\phi(a), \phi(b)]} f$$

定理 7.10    设$\phi: [a, b] \to [\phi(a), \phi(b)]$是一个单调递增的可微函数,$\phi'$是黎曼可积的,$f: [\phi(a), \phi(b)] \to \mathbb{R}$是$[\phi(a), \phi(b)]$上的黎曼可积的函数,那么$(f \circ \phi)\phi': [a, b] \to \mathbb{R}$在$[a. b]$上是黎曼可积的,且$$\int_{[a, b]} (f \circ \phi)\phi'=\int_{[\phi(a), \phi(b)]} f$$