实分析|度量空间(一)

Posted by Derek on August 27, 2020

1. 度量空间


定义 1.1(度量空间)    度量空间$(X, d)$是一个空间$X,$ $X$还包含了一个距离函数或度量$d: X \times X \to [0, \infty),$ 它把$X$中的每对点$(x, y)$对应到一个非负实数$d(x, y)$上. 此外,这个度量还必须满足以下三个公理:

(1.1.1)$\forall x, y \in X, d(x, y)=0$当且仅当$x=y.$

(1.1.2)$\forall x, y \in X, d(x, y)=d(y, x).$

(1.1.3)$\forall x, y, z \in X, d(x, z) \leq d(x, y)+d(y, z).$

(欧几里得空间)    设$n \geq 1 \in \mathbb{N}, \mathbb{R}^n=\lbrace (x_1, \cdots, x_n): x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R} \rbrace.$ 我们定义欧几里得度量($l^2$度量)$d_{l^2}: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$为$$d_{l^2}((x_1, \cdots, x_n), (y_1, \cdots, y_n))=\left( \sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2 \right)^{1/2}$$

($l^1$度量)    设$n$维欧几里得空间,我们定义$l^1$度量为$$d_{l^1}((x_1, \cdots, x_n), (y_1, \cdots, y_n))=\sum_{i=1}^n |x_i-y_i|$$

(上确界范数度量)    设$n$维欧几里得空间,我们定义上确界范数度量($l^\infty$度量)为$$d_{l^\infty}((x_1, \cdots, x_n), (y_1, \cdots, y_n))=\sup\lbrace |x_i-y_i|: 1 \leq i \leq n \rbrace$$

说明    $l^1, l^2, l^\infty$是更一般的$l^p$度量的特殊情形,$p \in [1, \infty].$

(离散度量)    设$X$是任意一个集合,定义离散度量为$$d_{\text{disc}}(x, y)=\begin{cases} 0, &x=y \\1, &x \neq y \end{cases}$$ 说明    按照这个度量,所有点之间的距离相等.

有了度量空间的概念后,我们可以在空间上定义收敛的概念.

定义 1.2(度量空间中的序列收敛)    设$m \in \mathbb{Z}, (X, d)$是一个度量空间,$(x^{(n)})_{n=m}^\infty$是$X$中的点列,$x \in X.$ 我们称$(x^{(n)})_{n=m}^\infty$依度量$d$收敛于$x,$ 当且仅当$$\lim_{n \to \infty} d(x^{(n)}, x)=0$$也即$$\forall \varepsilon>0, \exists N \geq m\ \text{s.t.}\ d(x^{(n)}, x)<\varepsilon, \forall n \geq N$$ 说明    在不引起混淆的前提下,我们通常说$(x^{(n)})_{n=m}^\infty$收敛于$x.$ 此外,序列的收敛性与所使用的度量也有关系. 考虑$x^{(n)}=\left(\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right)$在不同度量下的情况,可以发现在离散度量下,序列不收敛于$(0, 0).$ 一个序列可能依某个度量收敛于某一点,但依另一个度量收敛于另外一点. 所以改变空间上的度量能极大地影响空间上的收敛性(拓扑).

定理 1.3    设$\mathbb{R}^n$是一个欧几里得空间,$(x^{(k)})_{k=m}^\infty$是$\mathbb{R}^n$中的一个点列,$x^{(k)}=(x_1^{(k)}, \cdots, x_n^{(k)}), x \in \mathbb{R}^n.$ 下面四个命题是等价的:

(1.3.1)$(x^{(k)})_{k=m}^\infty$依$d_{l^2}$收敛于$x.$

(1.3.2)$(x^{(k)})_{k=m}^\infty$依$d_{l^1}$收敛于$x.$

(1.3.3)$(x^{(k)})_{k=m}^\infty$依$d_{l^\infty}$收敛于$x.$

(1.3.4)对于每个$1 \leq j \leq n, (x^{(k)}_j)_{k=m}^\infty$收敛于$x_j.$

说明    $\mathbb{R}^n$上的$l^1, l^2, l^\infty$度量是等价的,并且等价于每个坐标分量所构成的序列各自收敛. 但就离散度量而言,序列收敛的情况十分罕见,如果序列是收敛的,那么该序列最终变成一个常数.

定理 1.4    设$X$是任意一个集合,$d_\text{disc}$是$X$上的离散度量,$(x^{(n)})_{n=m}^\infty$是$X$中的一个点列,$x \in X.$ $(x^{(n)})_{n=m}^\infty$依$d_\text{disc}$收敛于$x,$ 当且仅当$$\exists N \geq m\ \text{s.t.}\ \forall n \geq N, x^{(n)}=x$$ 定理 1.5    设$(X, d)$是一个度量空间,$(x^{(n)})_{n=m}^\infty$是$X$中的一个序列. 如果存在两个点$x, x' \in X$使得$(x^{(n)})_{n=m}^\infty$依度量$d$收敛于$x$与$x',$ 那么$x=x'.$

2. 点集拓扑


这一部分的定理已经在多元微积分的课程中证明了,在此略过.

定义 2.1(球)    设$(X, d)$是一个度量空间,$x_0 \in X, r>0.$ 我们把$X$中依度量$d$以$x_0$为中心,半径等于$r$的球定义为$$B_{(X, d)}(x_0, r)=\lbrace x \in X: d(x, x_0)<r \rbrace$$

定义 2.2(内点、外点和边界点)    设$(X, d)$是一个度量空间,$E \subseteq X, x_0 \in X.$ 我们称$x_0$是$E$的内点,当且仅当存在一个半径$r>0$使得$B(x_0, r) \subseteq E.$ 我们称$x_0$是$E$的外点,当且仅当存在一个半径$r>0$使得$B(x_0, r) \cap E =\emptyset.$ 我们称$x_0$是$E$的边界点,当且仅当$x_0$既不是$E$的内点也不是$E$的外点. $E$的所有内点构成的集合称为$E$的内部,$\text{int}(E).$ $E$的所有外点构成的集合称为$E$的外部,$\text{ext}(E).$ $E$的所有边界点构成的集合称为$E$的边界,$\partial E.$

说明    如果$x_0$是$E$的内点,那么$x_0 \in E.$ 如果$x_0$是$E$的外点,那么$x_0 \not\in E.$ 如果$x_0$是$E$的边界点,那么它有可能是$E$中的元素,也有可能不在$E$中.

定义 2.3(闭包)    设$(X, d)$是一个度量空间,$E \subseteq X, x_0 \in X.$ 如果对任意的$r>0, B(x_0, r)$与$E$的交集总是非空的,我们称$x_0$是$E$的附着点. $E$的所有附着点构成的集合称为$E$的闭包,$\overline{E}.$

定理 2.4    设$(X, d)$是一个度量空间,$E \subseteq X, x_0 \in X.$ 下面三个命题是等价的:

(2.4.1)$x_0$是$E$的附着点.

(2.4.2)$x_0$要么是$E$的内点,要么是$E$的边界点.

(2.4.3)在$E$中能够找到一个依度量$d$收敛于$x_0$的序列$(x_n)_{n=1}^\infty.$

推论 2.5    设$(X, d)$是一个度量空间,$E \subseteq X.$ 那么$$\overline{E}=\text{int}(E) \cup \partial E=X \setminus \text{ext}(E)$$ 定义 2.6(开集和闭集)    设$(X, d)$是一个度量空间,$E \subseteq X.$ 如果$\partial E \subseteq E,$ 那么$E$是闭的. 如果$\partial E \cap E=\emptyset,$ 那么$E$是开的. 如果$E$只包含了一部分边界点,那么$E$既不是开的也不是闭的.

说明    如果一个集合没有边界,那么它就既是开的,也是闭的. 比如整个空间$X, \emptyset$等等. 在很多情况下,这两个集合是仅有的既开又闭的集合. 但是当我们使用离散度量时,所有集合都既开又闭. 可以看出,开与闭的两个概念并不是相互对立的.

定理 2.7    设$(X, d)$是一个度量空间,$E \subseteq X.$

(2.7.1)$E$是开的,当且仅当$E=\text{int}(E).$ 也即$E$是开的,当且仅当$$\forall x \in E, \exists r>0\ \text{s.t.}\ B(x, r) \subseteq E$$ (2.7.2)$E$是闭的,当且仅当$E$包含了自身的所有附着点. 也即$E$是闭的,当且仅当对于$E$中的任意一个收敛序列$(x_n)_{n=m}^\infty$都有$\lim\limits_{n \to \infty} x_n \in E.$

(2.7.3)对于任意的$x_0 \in X, r>0, B(x_0, r)$都是开集. $\lbrace x \in X: d(x, x_0) \leq r \rbrace$是一个闭集.

(2.7.4)任何一个单点集$\lbrace x_0 \rbrace$都是闭的,$x_0 \in X.$

(2.7.5)$E$是开的,当且仅当$X \setminus E$是闭的.

(2.7.6)如果$E_1, \cdots, E_n$是$X$中有限个开集,那么$\bigcap\limits_{i=1}^n E_i$也是开的. 如果$F_1, \cdots, F_n$是$X$中有限个闭集,那么$\bigcup\limits_{i=1}^n F_i$也是闭的.

(2.7.7)如果$\lbrace E_\alpha \rbrace_{\alpha \in I}$是$X$中的一簇开集($I$可以是有限的、可数的或不可数的),那么$\bigcup\limits_{\alpha \in I} E_\alpha$也是开的. 如果$\lbrace F_\alpha \rbrace_{\alpha \in I}$是$X$中的一簇闭集,那么$\bigcap\limits_{\alpha \in I} F_\alpha$也是闭的.

(2.7.8)$\text{int}(E)$是开集,并且对任意的$V \subseteq E, V \subseteq \text{int}(E),$ 我们称$\text{int}(E)$是包含在$E$中的最大开集. $\overline{E}$是闭集,并且对任意的$K \supset E, K \subset \overline{E},$ 我们称$\overline{E}$是包含$E$的最小闭集.

3. 相对拓扑


度量并不是决定集合是开集还是闭集的唯一要素,环绕空间$X$同样可以决定集合是开集还是闭集.

    考虑具有标准度量$d$的$\mathbb{R},$ 设$X=(0, 2).$ 现在考虑集合$(0, 1],$ 它不是$\mathbb{R}$中的闭集,因为$0$是$(0, 1]$的附着点,但又不包含在$(0, 1]$中. 但如果把$(0, 1]$看作是$X$的子集,那么$(0, 1]$就变成了闭集——$0$不是$X$中的元素,所以$0$不是$(0, 1]$的附着点,而$(0, 1]$就包含了自身所有的附着点.

定义 3.1(相对拓扑)    设$(X, d)$是一个度量空间,$E \subseteq Y \subseteq X.$ 如果$E$在度量子空间$(Y, d|_{Y \times Y})$中是开的,那么我们称$E$是关于$Y$相对开的. 如果$E$在度量子空间$(Y, d|_{Y \times Y})$中是闭的,那么我们称$E$是关于$Y$相对闭的.

定理 3.2    设$(X, d)$是一个度量空间,$E \subseteq Y \subseteq X.$ $E$是关于$Y$相对开的,当且仅当存在$X$中的开集$V \subseteq X$使得$E=V \cap Y.$ $E$是关于$Y$相对闭的,当且仅当存在$X$中的闭集$K \subseteq X$使得$E=K \cap Y.$