Derek

Thoughts, imaginations, and stories.

实分析|实数(三)

1. 实数的指数运算 关于实数的最后一个部分是指数运算,之前我们定义了$x^n,$ 其中$x\in\mathbb{Q}, n\in\mathbb{N}.$ 类似地,我们可以定义实数的指数运算. 定义 1.1(实数的自然数次幂)    设$x$是一个实数,定义$x^0:=1.$ 现在递归地假设对于某个自然数$n$已经定义了$x^n,$ 那么我们定义$x^{n+1}:=x^n \times ...

实分析|实数(二)

1. 实数排序 在对实数进行排序之前,我们要先定义正、负以及零. 定义 1.1    设$\lbrace a_n \rbrace$是一个有理数序列,我们称该序列是正远离$0$的,当且仅当存在一个正有理数$c>0$使得$a_n \geq c$对所有的$n \geq 1$均成立. 称该序列是负远离$0$的,当且仅当存在一个负有理数$-c<0$使得$a_n \leq -c$对所有的...

实分析|实数(一)

1. 柯西序列 实际上,在学习微积分的时候,我们会提到实数的构造. 然而关于这一部分内容我们需要一个更严谨的说明,这就涉及到了一个我们在学习微积分的时候同样接触过的概念,柯西序列. 首先,我们定义有理数序列(注意,当我们清空了关于大学以前所有的数学记忆时,我们的数系现在只扩充到有理数系). 定义 1.1(有理数序列)    设$m$是一个整数. 有理数序列$(a_n)_{n=m}^\in...

实分析|整数和有理数

0. 说明 关于整数和有理数部分,仅整理一些关于线性代数里的知识. 1. 整数 定理 1.1(整数的代数定律)    设$x, y, z$是整数,那么 (1.1.1)$x+y=y+x.$ (1.1.2)$(x+y)+z=x+(y+z).$ (1.1.3)$x+0=0+x=x.$ (1.1.4)$x+(-x)=(-x)+x=0.$ (1.1.5)$xy=yx.$ (1.1.6...

实分析|自然数

1. 皮亚诺公理 假设    存在一个数系$\mathbb{N},$ 我们称$\mathbb{N}$中的元素为自然数,且关于自然数的皮亚诺公理对$\mathbb{N}$均成立. 其中,关于自然数的皮亚诺公理包括: 公理 1.1    $0$是一个自然数. 公理 1.2    如果$n$是一个自然数,那么$n++$也是一个自然数. 其中$++$是增量运算.     命题1.2.1  ...

全日空再体验

这次回国先飞到旧金山和东京,又一次搭乘了心心念念的全日空。 第一段是从多伦多飞旧金山,由美联航承运,机型A320。因为是早上的航班,一上飞机喝了饮料就开始睡觉了。睡到半途的时候,闻到食物的香味就醒来了,这个时候附近的人都已经拿到了早餐,不一会儿空乘就走过来让我点餐。 其实一开始对美联航的早餐并没有什么期待,上一次从上海飞纽约也是搭乘美联航,点了中式的觉得莫名难吃。不过这一次还好没有让我失...

宏观经济学|DMP模型

0. 前言 2010年诺贝尔经济学奖颁发给了Peter Diamond, Dale Mortensen以及Christopher Pissarides,以表彰他们在对“存在搜寻摩擦的市场的分析”中所取得的成就。一个简化的DMP模型(The Diamond-Mortensen-Pissarides Model of Unemployment with Search Frictions)能让我...

微观经济学|寡头垄断

0. 前言 我们简单地介绍了一下博弈论,然后就可以来介绍寡头垄断的一些基本模型了。 1. 寡头垄断 寡头垄断(Oligopoky)是一种由少数企业主导市场的市场状态。"oligo-"这一前缀来自希腊语,意为少量的,所以也就不难理解这一单词的意思了。在寡头垄断情况中,企业拥有市场权力(Market Power),简单理解,企业支配市场并且拥有定价的权力。寡头垄断是一个典型的博弈,有三个基...

微观经济学|博弈论入门

0. 前言 也是很久没有更新微观经济学的入门笔记了,经过上一次在公众号上将一堆公式转图片再重新调整后,我更新笔记的动力就下降了许多。好在,折腾了一下博客,就打算在这里更新了。关于之前的笔记,可以去公众号上查阅,或者我有时间会慢慢将它们迁移过来的。 1. 博弈论与博弈 前一段时间,沉迷游戏。这个游戏让我想到了博弈论(Game Theory)与寡头垄断(Oligopoly)的知识,于是打算...

关于Fubini's Theorem证明的一些讨论

1. Fubini's Theorem是啥 其实,这个定理是应用在双重积分的计算的,数学家Guido Fubini提出使用逐次积分的方法计算双重积分的条件。在这些条件下,不仅能够用逐次积分计算双重积分,而且交换逐次积分的顺序时,积分结果不变,也即 Theorem. Assume that $R=[a, b] \times [c,d]$ is a rectangle in the $...