Derek

Thoughts, imaginations, and stories.

实分析|无限集

1. 可数性 关于无限集的大部分定理我们已经在抽象数学的课上证明了,因此不再赘述. 定义 1.1(可数集)    集合$X$是可数无限的(或简称为可数的),当且仅当$X$与$\mathbb{N}$有相等的势. 如果一个集合是无限的并且不是可数的,那么我们称该集合是不可数的. 说明    可数无限集也叫可列集. 定理 1.2(良序原理)    设$X$是$\mathbb{N}$的一个...

实分析|级数(二)

1. 非负数的和 定理 1.1    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n$是一个非负实数的形式级数,那么这个级数是收敛的当且仅当$$\exists M\ \text{s.t.}\ \sum_{n=m}^N a_n \leq M, \forall N \geq m$$ 推论 1.2(比较判别法)    设$\sum\limits_{n=m}^\infty a_n...

实分析|级数(一)

1. 有限级数 定义 1.1(有限级数)    设$m, n$是整数,$(a_i)_{i=m}^n$是一个有限实数序列,其中对每一个整数$i$都对应一个实数$a_i.$ 我们根据递归公式来定义有限级数 $$\begin{aligned} &\sum_{i=m}^n a_i:=0, n<m \\&\sum_{i=m}^{n+1}a_i:=\left(\sum_{...

因果推断|反事实(二)

非确定性的反事实 1. 反事实的概率 假设模型 $$\begin{aligned} X&=aU \\ Y&=bX+U \end{aligned}$$ 为了研究非确定性如何反映在反事实的计算中,我们给模型中$U$的值赋予概率,假设$U=\lbrace 1, 2, 3 \rbrace$代表总体中的三种类型的个体,发生的概率为$$P(U=1)=\frac{1}{2...

因果推断|反事实(一)

1. 介绍 我们利用反事实(Counterfactual)来强调我们希望在完全相同的条件下比较两种结果(比如驾驶时间),只有一个方面不同:前提(Antecedent)。 举个例子,昨晚我开车回家的时候,我来到一个岔路口,而我必须要做出一个选择:是走高速公路($X=1$)还是走普通街道($X=0$)。我选择了普通街道,却发现交通堵塞,一小时后我回到了家,我对自己说:“我本应该走高速公路的...

因果推断|线性系统中的因果推断

1. 介绍 这一篇主要介绍线性方程系统中的因果假设。在这一篇使用的所有模型里,我们使用强假设 - 变量之间的关系是线性的并且所有误差项都服从高斯/正态分布(在某些情况下,我们只需要假设对称分布),这一假设极大地简化了因果分析。正态分布的假设产生了四个特性,这些特性在处理线性系统时非常有用: 有效的代表(Efficient Representation) 期望值可替代概率 ...

因果推断|干预影响(四)

中介作用(Mediation) 通常情况下,当一个变量导致另一个变量时,它通过一组中介变量(Mediating Variable)既直接又间接地导致了另一个变量。例如,在我们讨论辛普森悖论提到的血压/治疗/康复的例子中,治疗通过血压这种中介变量,既是康复的直接原因,又是间接原因 - 血疗使血压下降,增加了康复能力。在许多情况下,了解$X$对$Y$的影响有多少是直接的,有多少是中介的是有用...

因果推断|干预影响(三)

1. 条件干预(Conditional Intervention)与具体的协变量效应(Covariate-Specific Effect) 在此之前,我们考虑的干预只限于赋于特定值$x$的变量$X.$ 一般来说,干预会涉及动态政策,在这些政策中$X$以特定的方式对其它变量$Z$作出反应,例如通过函数关系$x=g(z)$或通过随机关系,其中$X$被赋值$x,$ 其概率为$P^*(x|z)....

因果推断|干预影响(二)

1. 后门准则(The Backdoor Criterion) 事实上,有很多变量的父母变量是难以测量的,因此我们需要找到另一组变量来调整。这个问题为我们揭开了另一个更深层次的统计问题:在怎样的条件下,我们可以在没有干预的情况下,从被动观察获得的数据中计算出一个变量对另一个变量的因果效应。或者说在什么条件下,因果图的结构足以计算出一个给定数据集的因果效应。 其中一个最重要的工具叫做后门...

生活琐碎|如何用LaTeX优雅地装逼(一)

1. 一些废话 最近在帮朋友修改论文格式的过程中疯狂给他们安利$\LaTeX,$ 对于需要大量编辑公式的人而言,$\LaTeX$要比Word好用很多。因此,在这里我就大致介绍一下这个软件,算是一个小入门吧。如果你有任何想了解的用法,也可以留言咨询。 在此之前,希望你能安装好相关的软件。我本人是习惯用texstudio(免费的),你也可以根据自己的偏好选用软件。另外,$\LaTeX$也可...